2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系ppt配套教案和课堂实录

2．1.3

空间中直线与平面之间的位置关系

2．1.4

平面与平面之间的位置关系

一、考纲要求：

1．了解直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示．

2．了解平面与平面之间的两种位置关系，会用符号语言和图形语言表示．

二、自主学习

问题1、空间中的两条直线又有怎样的位置关系呢？

观察教室内日光灯管所在直线与黑板的左右侧所在的直线；操场上旗杆所在的直线与长安街所在的直线，杨家坪轻轨线与公路所在的直线，它们的共同特征是什么？

思考：如下图，长方体ABCD-A′B′C′D′中，线段AB′所在直线与线段CC′所在直D’C’

线的位置关系如何？

B’

A’

问题2：归纳总结

，形成概念

异面直线:

C D 问题3：空间中两条直线的位置关系有三种：

A B

问题4：判断：下列各图中直线l与m是异面直线吗? lm

ml

l

m



1



2



3 mm

lll

4

5

6 问题5：思考：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。空间中，如果两条直线都与第三条直线平行，是否也有类似的规律?

问题6：一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可能有几种位置关系？

问题7：如图，线段A′B所在直线与长方体的六个面所在平面有几种位置关系？

问题8：如何用图形语言表示直线与平面的三种位置关系?

问题9：如何用符号语言表示直线与平面的三种位置关系？

三、考点突破

m

1、典型例题

类型一

直线与平面、平面与平面位置关系的画法

【例1】

指出图中的图形画法是否正确，若不正确，请你画出正确图形．

解

(1)(2)(3)(4)的图形画法都不正确，正确画法如图所示．

【反馈训练1】

作出下列各小题的图形．

(1)画直线a、b，使a∩α＝A，b∥α；(2)画平面α、β、γ，使α∥β，γ∩α＝m，γ∩β＝n；

(3)画平面α、β，直线a、b，使α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，且a∥β，b∩α＝B. 解：如图

类型二

直线与平面位置关系的判断

【例2】

如图在正方体ABCD

A1B1C1D1中判断下列位置关系：

(1)AD1所在直线与平面BCC1的位置关系是________；

(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是________．

答案

(1)平行

(2)相交

【反馈训练2】

简述下列问题的结论，并画图说明．

(1)直线a⊂α，直线b∩a＝A，则b与α的位置关系如何？

(2)直线a⊂α，直线b∥a，则b与α的位置关系如何？

解

(1)b在平面α内或b与平面α相交，如图(1)；

图(1)

图(2) (2)在平面α内或与平面α平行，如图(2)．

类型三

平面与平面的位置关系的判断

【例3】

给出的下列四个命题中，其中正确命题的个数是(

)．

①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；③平面α内△ABC的三个顶点到平面β的距离相等，则α与β平行；④若两个平面有无数个公共点，则这两个平面的位置关系是相交或重合．

A．0

B．1

C．3

D．4 [思路探索] 根据平面平行、相交的定义，借助于模型长方体或正方体进行判断．

解析

如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，对于①，在平面A1D1DA中，AD∥平面A1B1C1D1，分别取AA1、DD1的中点E，F，连接EF，则知EF∥平面A1B1C1D1.但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1是相交的，交线为A1D1，故命题①错．

对于②，在正方体ABCDA1B1C1D1的面AA1D1D中，与A1D1平行的直线有无数条，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1不平行，而是相交于直线A1D1，故②是错误的．

对于③，在正方体ABCDA1B1C1D1中，分别取AA1，DD1，BB1，CC1的中点E，F，G，H，A1，B，C到平面EFHG的距离相等，而△A1BC与平面EFHG相交，故③是错误的．

两平面位置关系中不存在重合，若重合则为一个平面，故命题④错．

答案

A [规律方法]

(1)由于下节课学***面的判定定理，所以现在判断两平面的位置关系或两平面内的线线，线面关系，我们常根据定义，借助实物模型“百宝箱”长方体(或正方体)进行判断．

(2)反证法也用于相关问题的证明．

【反馈训练3】

(1)平面α内有无数条直线与平面β平行，问α∥β是否正确，为什么？

(2)平面α内的所有直线与平面β都平行，问α∥β是否正确，为什么？

解

(1)不正确．

如图所示，设α∩β＝l，则在平面α内与l平行的直线可以有无数条：a1，a2，…，an，…，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，an，…与平面β都平行(因为a1，a2，…，an，…与平面β无交点)，但此时α与β不平行，α∩β＝l. (2)正确．

平面α内所有直线与平面β平行，则平面α与平面β无交点，符合平面与平面平行的定义．

方法技巧

反证法在线面位置关系证明中的

应用

在立体几何有关线线、线面、面面位置关系的证明中，对于一些明显成立，但直接证明又缺少推理依据的问题，常利用反证法来证明，即从否定结论出发，进行推理，直到推出与已知条件或与学过的定理(公理)及其它事实相矛盾，从而说明原结论成立．

【示例】

证明：如果一条直线l经过平面α内一点A，又经过平面α外一点B，则此直线l必与平面α相交．

[思路分析]

本题证明的实质是直线l与平面α除去点A外，不存在其他公共点，可以利用反证法．

证明

由已知直线l和平面α有公共点A，如图所示，

∴直线l与平面α不平行．

假设直线l和平面α不相交，则l⊂α，

∵B∈l，∴B∈α.这与已知B∉α矛盾，∴直线l和平面α相交．

[题后反思] 当正面说理较为困难时，可假设要证命题不成立，推证出矛盾，从而得到要

证命题成立，本题中的命题可作为直线与平面相交的一种判定方法.

四、考点巩固

1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(

)．

A．一条直线不相交

B．两条直线不相交

C．无数条直线不相交

D．任意一条直线不相交

解析

直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点．

答案

D 2．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为(

)．

A．平行

B．相交

C．直线在平面内

D．平行或直线在平面内

解析

由面面平行的定义可知，若一条直线在两个平行平面中的一个平面内，则这条直线与另一个平面无公共点，所以与另一个平面平行．由此可知，本题中这条直线可能在其中一个平面内．否则此直线与另一个平面平行(因为若一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必然与另一个平面相交)．

答案

D 3.

下列命题中,正确命题的个数是（B）

①平行于同一条直线的两个平面平行.

②平行于同一个平面的两个平面平行.

③一个平面内有一条直线与另一平面平行,则这两个平面平行.

④两个平面平行,则分别在这两个平面内的两条直线平行. A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

4．

两直线l1与l2异面，过l1作平面与l2平行，这样的平面( )．

A．不存在

B．有唯一的一个 C．有无数个

D．只有两个

4、B 5．(2012·临沂高一检测)经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是________．

解析

若平面外两点所在直线与该平面相交，则过这两个点不存在平面与已知平面平行；若平面外两点所在直线与该平面平行，则过这两个点存在唯一的平面与已知平面平行．

答案

0或1 6．下列命题：

①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；

②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β. 其中错误命题的序号为________．

解析

对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCDA1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误．

答案

①②

7．求证：两条平行线中的一条与已知平面相交，则另一条也与该平面相交．

已知：直线a∥b，a∩平面α＝P. 求证：直线b与平面α相交．

证明

如图所示．

∵a∥b，∴a和b确定平面β. ∵a∩α＝P，∴平面α和平面β相交于过P点的直线l. ∵在平面β内l与两条平行直线a、b中的一条直线a相交，

∴l必与b相交于点Q，即b∩l＝Q.又∵b不在平面α内(若b在α内，则α和β都过两相交直线a和l，因此α和β重合，a在α内，和已知矛盾)，∴直线b和平面α相交．

8．在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．

求证：BC⊥AD；

证明：(1)取BC中点O，连结AO，DO．

∵△ABC，△BCD都是边长为4的正三角形，

∴AO⊥BC，DO⊥BC，且AO∩DO＝O，

∴BC⊥平面AOD．又AD平面AOD，

∴BC⊥AD．