3.2.2 直线的两点式方程教学设计第一课时

第4课时

直线的方程(二)

1.掌握直线的两点式和截距式方程,归纳方程特点及适用范围.

2.能根据具体问题的特点选择恰当的形式求直线方程.

赵州桥又称“安济桥”,在河北省赵县城南2.6公里处,它横跨洨水南北两岸,建于隋朝大业年间(605-616年),由著名匠师李春监造,距今已有1400多年的历史.因桥体全部用石料建成,俗称“大石桥”.赵州桥结构新奇,造型美观,全长50.82米,宽9.6米,跨度为37.37米.

问题1:假如赵州桥的桥墩看作两个点,已知两点坐标为P1(x1,y1),P(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2),则通过这两点的直线方程为

.与坐标轴平行或垂直的直线没有两点式方程,但其变形(y2-y1)(x-x1)=(x2-x1)(y-y1)可表示过任意两点的直线方程.

问题2:(1)当x1=x2时,直线与x轴垂直,直线方程为:

;(2)当y1=y2时,直线与y轴垂直,直线方程为:

.

问题3:与两坐标轴的交点分别是P1(a,0),P2(0,b)(其中ab≠0)的直线的截距式方程为

,与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距式方程.

问题4:若点P1,P2的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),且线段P1P2的中点M的坐标为(x,y),则

,此公式为线段P1P2的中点坐标公式.

1.直线+=1(ab<0)的图象可能是(

).

2.在x、y轴上的截距分别是-3、4的直线方程是(

).

A.+=1

B.+=1 C.-=1 D.+=1 3.经过两点A(3,2),B(8,12)的直线方程为

.

4.直线4x+3y+d=0与两坐标轴围成的三角形的面积为6,求此直线在x轴上的截距.

直线的两点式方程

已知三角形的三个顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2).

(1)求BC边所在的直线方程; (2)求BC边上的中线AM所在的直线方程.

直线方程与直线的平行、垂直

已知直线l的方程为3x+4y-12=0.

(1)l'与l平行,且过点(-1,3),求直线l'的方程; (2)l'与l垂直,且l'与两坐标轴围成的三角形面积为4,求直线l'的方程.

考查截距

求经过点A (-3,4),且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程.

一条光线从点A(3,2)出发,经过x轴反射后,通过点B(-1,6),求入射光线和反射光线所在的直线方程.

当a为何值时,直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直?

已知直线l过点P(-5,4),且与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积为5,求直线l的方程.

1.直线l过(-1,-1)、(2,5)两点,且点(1006,b)在l上,则b的值为(

).

A.2010

B.2011 C.2012 D.2013 2.两条直线-=1与-=1的大致图象是下图中的(

).

3.直线3x-4y+k=0在两坐标轴上的截距之和为2,则实数k=

.

4.求经过两点A(2,m)和B(n,3)的直线方程.

直线l过点M(-1,2),且与x轴,y轴交于A、B两点,若M恰为AB的中点,则直线l的方程为

.

考题变式(我来改编):

答案

第4课时

直线的方程(二)

知识体系梳理

问题1:=

问题2:(1)x=x1

(2)y=y1

问题3:+=1 问题4:基础学习交流

1.C

直线在x、y轴上的截距分别为a、b,且ab<0,即a,b异号,故选C.

2.A

由截距式方程知直线方程为+=1,故选A.

3.y=2x-4

由

=,得直线方程为y=2x-4.

4.解:令x=0,y=0得直线在y轴,x轴上的截距分别为-,-.

∴×|-|×|-|=6,解得d=±12, ∴直线在x轴上的截距为3或-3.

重点难点探究

探究一:【解析】(1)直线BC过点B(3,-3),C(0,2),由两点式得直线方程为5x+3y-6=0.

(2)因为B(3,-3),C(0,2),所以由中点坐标公式可得BC边上中点M的坐标为x=方程可得直线AM的方程为=,整理得5x+3y-6=0,所以BC所在的=,y==-.由两点式=,整理得直线AM的方程为x+13y+5=0.

【小结】本题利用直线的两点式求解直线方程,求解前要先观察横坐标是否相等,纵坐标是否相等,都不相等后才可以利用两点式方程求解.由于两点式方程比较复杂,所以在利用两点式方程时一定要细心.此外,本题也可以先求出直线的斜率,再利用点斜式或斜截式求直线方程.

探究二:【解析】(1)因为直线l的斜率k=-,且l'∥l,所以直线l'的斜率k'=-,所以由点斜式得y-3=-(x+1),即3x+4y-9=0.

(2)由直线l的斜率k=-,且l'⊥l,可得直线l'的斜率k'=.设直线l'的方程为y=x+b,由y=0得x=-b,由x=0得y=b.由S△=·|-b|·|b|=4,得b2=,即b=±,所以直线l'的方程为y=x±,即4x-3y±4=0.

【小结】解决该类问题的关键,就是要根据所给条件的特点灵活设出直线的方程,否则会加大计算量,降低解题的准确性.

探究三:【解析】设方程为+=1.

将A(-3,4)代入上式,有+=1,解得a=-7.代入整理得所求直线方程为x-y+7=0.

[问题]上述解法正确吗?当直线l在坐标轴上的截距互为相反数时,方程一定为+=1吗? [结论]不一定,0的相反数也为0,但分母不能是0.

于是正确解答如下: 当直线l在坐标轴上的截距都不为零时,设其方程为+=1.将A(-3,4)代入方程,有+=1, 解得a=-7,代入整理得所求直线方程为x-y+7=0.

当直线l在坐标轴上的截距都为零时,设其方程为y=kx.将A(-3,4)代入方程,得4=-3k,即k=-.

∴所求直线方程为y=-x,即4x+3y=0.

故所求直线l的方程为x-y+7=0或4x+3y=0.

【小结】涉及在两坐标轴上的截距是倍数关系(包括相等关系,互为相反数关系等)时,不要遗漏截距均为零这一情形.

思维拓展应用

应用一:因为点A(3,2)关于x轴的对称点为A'(3,-2),所以由两点式可得直线A'B的方程为2x+y-4=0.同理,点B关于x轴的对称点为B'(-1,-6),由两点式可得直线AB'的方程为入射光线所在的直线方程为2x-y-4=0,反射光线所在的直线方程为2x+y-4=0.

=,即=,即2x-y-4=0,所以

应用二:(1)当1-a=0,即a=1时,直线l1:3x-1=0与直线l2:5y+2=0显然垂直.

(2)当2a+3=0,即a=-时,直线l1:x+5y-2=0与直线l2:5x-4=0不垂直.

(3)当1-a≠0,且2a+3≠0时,直线l1,l2的斜率k1,k2都存在,且k1=-(-)·(-)=-1,∴a=-1.

,k2=-,∵l1⊥l2,∴k1·k2=-1,即综上可知,当a=1或a=-1时,直线l1⊥l2.

应用三:由已知得直线在两坐标轴上的截距不为0, 所以可设直线l的方程为+=1(a>0,b>0), 由直线l过点P(-5,4),得+=1.①

直线l与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积为5, 即ab=5,ab=10.②

解①②得a=5,b=2.

∴直线l的方程为+=1,即2x+5y-10=0.

基础智能检测

1.D

直线l的方程为整理得:y=2x+1, 令x=1006,得b=2013.选D. 2.B

两直线的方程分别化为y=x-n,y=x-m,易知两直线的斜率符号相同.故选B. 3.-24

令x=0,得y=;令y=0,得x=-,则有-=2,所以k=-24.

4.解:当n=2时,点A,B的横坐标相同,直线AB垂直于x轴,则直线AB的方程为x=2; 当n≠2时,过点A,B的直线的斜率是k=又∵过点A(2,m), , =, ∴由直线的点斜式方程y-y1=k(x-x1)得过点A,B的直线的方程是:y-m=(x-2).

全新视角拓展

+=1

由M(-1,2)恰为AB的中点知,A(-2,0),B(0,4),由截距式得直线l的方程为+=1.

思维导图构建

y-y0=k(x-x0)

y=kx+b =(x1≠x2,y1≠y2)