3.4 生活中的优化问题举例教案设计

§3.4生活中的优化问题举例（第一课时）

会东县和文中学

李智慧

一、教学目标：

1．

使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。

2．

掌握利用导数知识解决实际生活中的最优化问题。

3．

让学生体会到解决优化问题的关键是建立函数模型，审题必须清楚，要明确常量与变量之间的关系。

4．

通过自我探索写出实际问题的函数关系式，提高将实际问题转化为数学问题的能力。

二、教学重点：利用导数解决生活中的优化问题。

三、教学难点：实现由实际问题向数学问题的转化。准确应用导数求极值和最值。

四、教学过程：

(一)：创设情景

以和其正的广告视频来提出问题：是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？从而引入课题。

【教学设计】：首先以视频引入能提高学生的学习兴趣；再抛出问题给学生能大大激发他们自主学习的兴趣、动力。

（二):新课讲授

学习探究：

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．而解决优化问题的实质就是求函数的最值。通过前面的学习，我们知道，

导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题。

导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：

1、与几何有关的最值问题；

2、与物理学有关的最值问题；

3、与利润及其成本有关的最值问题；

4、效率最值问题。

问题探究：

探究一：面积最小

一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？

思考1：正方形的面积怎么计算？

正方形的面积等于边长的平方

思考2：两个正方形的边长与什么有关？

正方形边长与所截长度有关。

思考3：设两段铁丝的长度分别为x,l-x,则两个正方形的边长为什么？

xlx

44思考4：设两正方形面积和为S(x)，则S(x)的表达式是什么？

1xlxSx2x22xll2,0xl

441622思考5：怎样求这个函数的最值？

分析函数的解析式知，s(x)是关于x的二次函数，所以利用二次函数求解。方法是配

方法。

解：设截成的两段铁丝的长度分别为x,l-x，则两个正方形面积之和为S(x) 1xlxSx2x22xll2,0xl4416

221ll2配方得Sxx

8232ll2因为开口方向向上，所以当x时，Sx

取得最小值为。

232答：当两段铁丝的长度均为

2l

时，两个正方形的面积和最小。

2【教学设计】：以一个简单的题目开始，让学生回忆利用函数求解实际生活中的问题。提高学生的学习积极性；以分组讨论为教学模式，充分发挥学生的学习自主性；以五个思考为主线，引导学生分析解决问题；让各小组指派人员来完整的回答此题，并由老师指出易错点，分析、突破难点。

探究二：海报版面尺寸的设计

学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？

提示学生按照探究一中的四个步骤自行思考。

思考1：版心面积为定值128dm2，四周空白的面积怎么计算？

第1步，建模关系式：空白面积=海报的面积-版心的面积

思考2：设版心的长为x，则版心的宽为海报四周空白的面积为多少？

2128，海报的面积为多少？

x128x42

x

128x42128

x思考3：设海报四周空白的面积为S(x)，则S(x)的最简表达式如何？其定义域是什么？

第2步函数关系式：Sx2x5128,x0

x【教学设计】：每个思考都抽学生回答，给予学生自主思考的空间。

思考4：海报四周空白的面积S(x)是否存在最值？若存在，如何求其最值？

第3步：解模 解：设版心的长为xdm，则版心的宽为128dm,此时四周空白面积为

x S(x)(x4)(1285122)1282x8,x0。

xx法一：利用均值不等式（一正，二定，三相等）

观察函数解析式符合均值不等式的运用条件

Sx2x512512822x*872

xx512时“=”成立，即当x16时，S(x)的最小值为72 x当且仅当2x

【教学设计】：引导学生观察函数解析式的特点，脑海里回忆求函数的最值的方法，确定本题的求解方法。学生的思维由易到难，符合学生的认知过程。

法二：利用导数求解

S'(x)2'512。

2x5120，解得x16(x16舍去）。

x2令S(x)2于是宽为1281288。

x16''当x(0,16)时，S(x)<0，函数为减函数；当x(16,)时，S(x)>0，函数为增函数。

因此，x16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。

外一种设法：设版心的宽为x，则版心的长为128，海报的面积、空白面积分别为：

x128x24

x128x24128x

Sx2564x8,xf0

x2562564x82*4x872xx256当且仅当4x时，“”成立。

x128即当x8时，此时16,Sx取得最小值。xSx答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。

【教学设计】：我们知道矩形的面积等于长乘宽，而本题中知道版心的面积，应该是设版心的长或者宽为x，在学生中便产生了两种设法。不管是哪一种设法均可计算，而且计算过程类似。在教学中可以两种设法都提及。主要的解法还是以教科书为准。这样能让学生充分发挥自己的思维能力，激发学生的自主学习性。抽学生两个学生谈谈对这道题进行求解的看法。两个学生的求解方法不同。方法一利用均值不等式，强调运用均值不等式的三个条件；能更直接地得到答案。方法二利用导数。这样做目的是学生规范解题格式：作为应用题应该先设出自变量和因变量，然后列出函数关系式，利用函数的知识进行求解，最后作答。也是让学生享受解题的过程，提高学生的自主能动性。

探究三．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响

【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是

0.8r

分，其中

r

是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm。

2

问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？

（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？

[教学设计]：承接创设情境中的问题，解决刚才学生们激烈讨论的问题，激发学生求知欲，起到承上启下的作用。

思考1：利润怎样计算？

利润=收入-成本

思考2：本题中的收入和成本怎样计算? 收入=瓶子的体积*每毫升饮料的利润

成本=0.8r

思考3：设每瓶饮料的利润为f(r)，则函数f(r)的表达式和定义域是什么？

2r32 fr0.83r,0r6

思考4：怎样求该函数的最值？

因为该函数是关于r的三次函数，无法用初等函数的方法进行求解，只能利用刚刚所学的导数求解。

利用导数求最值的具体步骤：

第一步：求出区间内的所有极值

先求函数的导数，再求出导数方程的根，判断根是否在区间内，若不在直接舍去；若在则判断区间内在该根的左右两侧导数的正负性。（若“左正右负”，则该根为极大值点；若“左负有正”，则该根为极小值点。若左右同号，则该根不是极值点。）从而求出极值。

第二步：比较所有极值和区间端点函数值的大小，最大者为最大值，最小者为最小值。

【教学设计】通过这四个思考，让你学生在老师的引导下对整个问题有清晰、准确的分析思维以达到突破难点的目的。并且这四个思考蕴含解决优化问题的两个步骤：1、建模关

系式；2、函数关系式。层层深入；符合学生由易到难的思维方式。经学生小组讨论后，思考四抽学生回答利用导数求解最值的步骤。让学生回顾旧知。

解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是

4r30.8r2

yfr0.23r320.8r3r,0

6令fr0.8(r22r)0

解得

r2（r0舍去）

当r0,2时，fr0，函数为减函数；当r2,6时，fr0，函数为增函数。

当r2时，fr取得极小值也为最小值，f2当r6时，f628.8

所以当r2时，fr的最小值为f23.2

33.2；当r6时，fr的最大值为3f628.8

换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？

y 由图像知：

当0＜r＜3时，利润为负值；

当r＝3时，利润为零；

当r＞3时，利润为正值，

并随着瓶子半径的增大利润也相应增大。

2 O 3 6 r 【教学设计】：利用导数求最值的具体步骤。也是解决优化问题的第3步：解模，利用函数图象直观的将这个函数的变化情况展现在学生眼前。

答：当瓶子的半径为6时，能使每瓶饮料的利润最大；当瓶子的半径为2时，能使每瓶饮料的利润最小。

【教学设计】：强调应用题必须作答。也是解决优问题的第4步：作答。

反思：对优化问题中的函数关系，要注意根据实际背景确定函数的定义域;如果目标函数在

定义域内只有一个极值点，则这个极值点一般就是最值点.

【教学设计】：本节由三个探究，探究一利用二次函数求解，当然也可以用导数求解，但主讲还是二次函数的方法；探究二利用均值不等式和导数求解；探究三只能利用导数求解。由旧知到新知，由简单到复杂，点出不能用初等基本函数求解的都可以用导数方法求解。让学生体会导数的重要性，对之前所学章节的肯定，形成数学在学科知识和实际问题的有用性、重要性的意识。

(三)课堂小结：

解决优化问题的具体步骤：

一、建模关系式：读懂题意，分析寻找各个变量之间的关系。

二、列函数关系式：列出变量之间的函数关系式，注意一定要根据实际背景写出定义域。

三、解模：利用函数的知识解决问题。要根据函数解析式的特点，用适当的方法求解。比如基本不等式、二次函数的图像、导数等

四、作答：题目怎么问，一般就怎么答。

【教学设计】：在探究一，探究，探究三讲完后学生对解决优化问题的过程有了初步的了解。再在我的引导下得出解决优化问题的具体步骤。对本节课的知识有个系统的总结，培养学生对所学知识的归纳总结能力。

（四）巩固练习：

在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相同的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？

xxx6060-2xx60-2x60-2x60x60-2x

x60

60

解法一：设箱底的边长为xcm,则箱高h60xcm，箱子的容积为260x2x3Vxx*h,0x6022V/x60x32x2令V/x0得到x0舍或x40

当x0,40时，V/x0。当x40,60时，V/x0。

当x40时，Vx取得极大值也为最大值，V4016000。

解法二：设箱子的高为xcm,则箱子的底边的边长为602xcm，箱子的容积为

Vx602x*x,0x30

2V/x602x6x60

令Vx0，得到x30舍或x10

/

当x0,10时,V/x0；当x10,30时，V/x0。当x10时，即箱子底边的边长为40时，Vx取得极大值也为最大值，V1016000。

答：箱子底边的边长为40cm时，箱子的容积取得最大值为16000cm。

【教学设计】：在总结以后学生对本节课的知识要点有了更近一步的理解，紧接着给出练习题对已学知识进行巩固。本练习采用两种设法，体现解题的多样性，对充分发挥学生的思维能力起到很大的作用。

3（五）作业布置：

第一题：有甲、乙两城，甲城位于一直线形河岸，乙城离岸40千米，乙城到岸的垂足与甲城相距50千米，两城在此河边合设一水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别

为每千米500元和700元，问水厂应设在河边的何处，才能使水管费用最省？

第二题：房价应定位多少

某宾馆有50个房间供个、游客居住，当每个房间定价为每天180元时，房间会全部住满；房间单价每增加10元，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆每天需花费20元的各种维修费用。那么房间定价为多少时，宾馆利润最大？

【教学设计】：给出两个与实际生活息息相关的问题，让学生进一步感受数学的重要性、实用性。结合本节课所学的知识对这两道题进行求解，让学生享受整个解题过程，发现学习数学的快乐。培养学生学习数学的兴趣。因为兴趣才是最好的老师。