习题2.3教学设计实例

专题：双曲线的离心率问题

一、直接求出a，c或求出a与b的比值，以求解e。

ccc2a2b2b2b2在双曲线中，e>1，e11()

222aaaaaax2y241．已知双曲线－＝1的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为

3a2b2b4c32425解析:双曲线焦点在x轴,由渐近线方程可得,可得ea3a33

x2y2π2．已知双曲线2

－

=1(a>2)的两条渐近线的夹角为

,则双曲线的离心率为

a23x2y223π1(a>2)的两条渐近线的夹角为3

，则tan解：双曲线2，∴

a2=6，双曲线a2a6323的离心率为

，3

x232323．已知双曲线2y1 (a0)的一条准线为x，则该双曲线的离心率为

23ax2y24．已知F1、F2是双曲线221(a0,b0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，ab若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是31

x2y25．设双曲线221(a0,b0)的右焦点为F，右准线l与两条渐近线交于P、Q两点，如果abPQF是直角三角形，则双曲线的离心率e2. x2y26．已知双曲线221(a>0,b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右ab支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是

x2y2o解析：双曲线221(a0,b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲ab线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率bb，∴

≥3，离aac2a2b2≥4，∴

e≥2，

心率e=22aa2

1

x2y27．设a1，则双曲线21的离心率e的取值范围是(2，5)

2a(a1)8．已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60 ，则双曲o线C的离心率为62

121313x，则双曲线的离心率为或

55129．已知双曲线的渐近线方程为y二、构造a，c的齐次式，解出e。

x2y21．已知双曲线221(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是准线上一点，且P F1⊥P F2，

ab｜P F1｜｜P F2

｜＝4ab，则双曲线的离心率是3

x2y22．过双曲线221(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，ab以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于__2_______．

x2y23．设F，F2，P(0,2b)是正三角形的三1和F2为双曲线221(a0,b0)的两个焦点, 若F1ab个顶点,则双曲线的离心率为2

4．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为51

2三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形。

x2y21．已知双曲线221,(a0,b0)的左，右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上，且ab5|PF1|4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为

3x2y22．双曲线221（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲

ab线离心率的取值范围为1,3

x2y23．设F1，F2分别是双曲线221的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使F1AF290，且

ab2

|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为10

2x2y2解．设F1，F2分别是双曲线221的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90º，ab且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中2a|AF1||AF2|2，2c|AF1|2|AF2|210，∴

离心率e10，

2x2y24．双曲线221（a0，b0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30的直线ab交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为3

x2y25．如图，F1和F2分别是双曲线221(aab0,b0)的两个焦点，

A和B是以O为圆心，以OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个

交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为13

x2r2解析：如图，F1和F2分别是双曲线221(a0,b0)的两个焦点，abA和B是以O为圆心，以OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，连接AF1，∠AF2F1=30°，|AF1|=c，|AF2|=3c，∴

2a(31)c，双曲线的离心率为13，

x2y26．设点P是双曲线221(aab0,b0)右支上的任意一点，F1,F2分别是其左右焦点，离心率为e，若|PF1|e|PF2|，此离心率的取值范围为

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