1.1.1 命题教学目标设计

1.1

命题及其关系

1.1.1

命题

学习目标：1.了解命题的概念．(难点)2.理解命题的构成形式，能将命题改写为“若p，则q”的形式．(重点)3.能判断一些简单命题的真假．(难点，易错点) [自

主

预

习·探

新

知] 1．命题的定义与分类

(1)命题的定义：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．

(2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．我们学习过的定理、推论都是命题．

(3)分类

真命题：判断为真的语句命题

假命题：判断为假的语句思考1：(1)“x－1＝0”是命题吗？

(2)“命题一定是陈述句，但陈述句不一定是命题”这个说法正确吗？

[提示]

(1)“x－1＝0”不是命题，因为它不能判断真假．

(2)正确．根据命题的定义，命题一定是陈述句，但陈述句中只有能够判断真假的才是命题．

2．命题的结构

(1)命题的一般形式为“若p，则q”．其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．

(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式．

思考2：命题“实数的平方是非负数”的条件与结论分别是什么？

[提示]

条件是“一个数是实数”，结论是：“它的平方是非负数”．

1

[基础自测] 1．思考辨析

(1)一个命题不是真命题就是假命题．

(2)一个命题可以是感叹句．

(3)x>5是命题．

(

) (

) (

) [解析]

根据命题的定义知(1)正确，(2)、(3)错误．

[答案]

(1)√

(2)×

(3)×

2．下列语句是命题的是(

) ①三角形内角和等于180°；②2>3；

③一个数不是正数就是负数；④x>2；

⑤2018央视狗年春晚真精彩啊！

A．①②③

C．①②⑤

B．①③④

D．②③⑤

A

[①、②、③是陈述句，且能判断真假，因此是命题，④不能判断真假，⑤是感叹句，故④、⑤不是命题．] 3．下列命题中，真命题共有(

)

①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；

③若a>b，则a＋c>b＋c；④矩形的对角线互相垂直．

A．1个

C．3个

B．2个

D．4个

A

[①、②、④是假命题，③是真命题．] [合

作

探

究·攻

重

难]

命题的判断

(1)下列语句为命题的是(

) A．x2－1＝0

C．你会说英语吗？

B．2＋3＝8 D．这是一棵大树

(2)下列语句为命题的有________．

①x∈R，x>2；②梯形是不是平面图形呢？③22 018是一个很大的数；④4是集合{2,3,4}中的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′. 2

[解析]

(1)A中x不确定，x2－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假．

(2)①中x有范围，可以判断真假，因此是命题；②是疑问句，不是命题；③是陈述句，但“大”的标准不确定，无法判断真假，因此不是命题；④是陈述句且能判断真假，因此是命题；⑤是祈使句，不是命题．

[答案]

(1)B

(2)①④

[规律方法]

判断一个语句是否是命题的二个关键点

(1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真

假，若能，就是命题；若不能，就不是命题提醒：若语句中含有变量，但变量没有给出范围，则该语句不是命题. [跟踪训练] 1．判断下列语句是不是命题，并说明理由．

(1)函数f(x)＝3x(x∈R)是指数函数；

(2)x2－3x＋2＝0；

(3)若x∈R，则x2＋4x＋7>0. (4)垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？

(5)一个数不是奇数就是偶数；

(6)2030年6月1日上海会下雨．

[解]

(1)是命题，满足指数函数的定义，为真命题．

(2)不是命题，不能判断真假．

(3)是命题．当x∈R时，x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0能判断真假．

(4)疑问句，不是命题．

(5)是命题，能判断真假．

(6)不是命题，不能判断真假．

命题的构成

(1)已知命题：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧，若把上述命题改为“若p则q”的形式，则p是________，q是________. 3

(2)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．

①函数y＝lg x是单调函数；

②已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；

③当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0. [思路探究]

解决此类题目的关键是找到命题的条件和结论，然后用适当的形式改写成“若p，则q的形式”．

[解析]

(1)命题的条件是“弦的垂直平分线”，结论是“经过圆心并且平分弦所对的弧”．因此p是“一条直线是弦的垂直平分线”，q是“这条直线经过圆心并且平分弦所对的弧”．

[答案]

一条直线是弦的垂直平分线

这条直线经过圆心且平分弦所对的弧．

(2)①若函数是对数函数y＝lg x，则这个函数是单调函数．

②已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2. ③若abc＝0，则a＝0且b＝0且c＝0. [规律方法]

1.若一个命题有大前提，则在将其改写成“若p，则q”的形式时，大前提仍应作为大前提，不能写在条件中，如本例(2)②. 2．“若p，则q”这种形式是数学中命题的基本结构形式，也有一些命题的叙述比较简洁，并不是以“若p，则q”这种形式给出的，这时，首先要把这个命题补充完整，然后确定命题的条件和结论．

[跟踪训练] 2．把下列命题改写成“若p，则q”的形式．

11(1)当a>b时，a

(2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行；

(3)同弧所对的圆周角不相等．

11[解]

(1)若a>b，则a

(2)若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行；

(3)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等．

4

命题的真假判断

[探究问题] 1．如何判断一个命题是真命题？

提示：根据命题的条件，利用定义、定理、性质论证命题的正确性．

2．如何判断一个命题是假命题？

提示：举出一个反例即可．

给定下列命题：

①若a>b，则2a>2b；

②命题“若a，b是无理数，则a＋b是无理数”是真命题；

π③直线x＝2是函数y＝sin x的一条对称轴；

→·→>0，则△ABC是钝角三角形．

④在△ABC中，若ABBC其中为真命题的是________．

严格的逻辑推理恰当的反例[思路探究]

命题――――――――→真命题―――――→假命题

[解析]

对于①，根据函数f(x)＝2x的单调性知①为真命题．

对于②，若a＝1＋3，b＝1－3，则a＋b＝2不是无理数，因此②是假命题．

π对于③，函数y＝sin x的对称轴方程为x＝2＋kπ，k∈Z，故③为真命题．

→→→→→→对于④，因为AB·BC＝|AB||BC|cos(π－B)＝－|AB||BC|cosB>0，故得cosB<0，从而得B为钝角，所以④为真命题．

[答案]

①③④

母题探究：1.(变结论)本例中命题①变为“若a>b，则方程ax2－2bx＋a＝0无实根”，该命题是真命题还是假命题．

[解]

若a＝1，b＝－5，满足a>b，但Δ＝4b2－4a2>0，方程有两个不相等的实根，因此该命题是假命题．

→→2．(变条件)本例中命题④变为“若AB·BC<0，则△ABC是锐角三角形”，5

该命题还是真命题吗？

→→[解]

不是真命题，AB·BC<0只能说明∠B是锐角，其他两角的情况不确定．只有三个角都是锐角，才可以判定三角形为锐角三角形．

[规律方法]

1.由命题的概念可知，一个命题要么是真的，要么是假的，且必居其一．

2．如果要判断一个命题为真命题，需要依据条件进行严格的推理论证，而要判断一个命题为假命题，只要举出一个反例即可．

[当

堂

达

标·固

双

基] 1．下列语句不是命题的个数为(

) ①2<1；②x<1；③若x<1，则x<2；④函数f(x)＝x2是R上的偶函数．

A．0

B．1

C．2

D．3 B

[语句①、③、④都能判断真假，是命题，语句②不能判断真假，不是命题．] 2．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是(

) A．这个四边形的对角线互相平分

B．这个四边形的对角线互相垂直

C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直

D．这个四边形是平行四边形

C

[把命题改写成“若p，则q”的形式后可知C正确．故选C.] 3．下列命题是真命题的为(

)

11A．若a>b，则a

B．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列

C．若|x|

D．若a＝b，则a＝b

11C

[对于A，若a＝1，b＝－2，则a>b，故A是假命题．

对于B，当a＝b＝0时，满足b2＝ac，但a，b，c不是等比数列，故B是假命题．

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对于C，因为y>|x|≥0，则x2

对于D，当a＝b＝－2时，a与b没有意义，故D是假命题．] 4．命题“关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等实数解”为真命题，则实数a的取值范围为________．

a≠0(－∞，0)∪(0,1)

[由题意知解得a<1，且a≠0.] Δ＝4－4a>0，5．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．

(1)末位数字是0的整数能被5整除；

(2)偶函数的图象关于y轴对称；

(3)菱形的对角线互相垂直.

[解]

(1)若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除，为真命题．

(2)若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y轴对称，为真命题．

(3)若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直，为真命题．

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