1.2.1 充分条件与必要条件教案1

1.2 充分条件与必要条件

一、设计理念

著名教育学家布鲁纳说过:“知识的获得是一个主动过程. 学习者不应该是信息的被动接受者，而应是知识获取的主动参与者.”《数学课程标准》又提出数学教育要以有利于学生的全面发展为中心；以提供有价值的数学和倡导有意义的学习方式为基本点. 本节课的设计正是以此为理念，在整个授课过程中努力体现学生的主体地位，使学生亲自参与获取知识和技能的全过程，亲身体验知识的发生和发展过程，从而激发学生学习数学的兴趣，培养学生运用数学的意识和能力.

二、教材分析

本节教材的地位、作用

数学活动离不开对问题进行等价转化与非等价转化, 充分条件、必要条件、充要条件及有关知识是进行这些转化的逻辑基础，它们是研究命题的条件与结论之间逻辑关系的重要工具，是中学数学中最重要的数学概念之一,虽然经过初中的学习，学生已经具备了一定的逻辑推理能力，但只有掌握了充分、必要条件的知识,并灵活运用它们进行推理判断，才可以说是建立起了保证数学活动顺利进行的完整的逻辑结构.为了提高这部分内容的学习质量，在“充要条件”这节内容前,教材安排了“逻辑联结词”和“四种命题”这二节内容作为必要的知识铺垫. 并把充分、必要条件的定义安排在第一课时，第二课时学习充要条件. 2．教学目标

⑴

知识与技能：

初步理解充分条件与必要条件以及充要条件的概念；基本掌握判断充要关系的方法与步骤.

⑵

过程与方法：

从实例探究中感知概念；从原命题及逆否命题的对比分析中形成概念；从发散练习题的构造中理解概念；从集合的角度深化概念.

⑶

情感、态度与价值观：

在对命题的条件与结论间逻辑关系的探究中培养学生思维的严谨性；在师生

间平等、和谐的交流中，激发学生学习数学的热情.

3．学生情况

我授课的学生是省一级学校实验班的学生，整体素质较好。

4．教学重点、难点

本节课介绍了充分条件、必要条件和充要条件三个概念,这三个概念本身是重点.由于这些概念较抽象,与学生的原有思维习惯又有差异. 因此,对三个概念的理解以及运用它们解决相关问题也是本节内容的难点.

重点：⑴

充分条件、必要条件、充要条件概念的理解；

⑵

初步判断给定命题的条件与结论之间的关系.

难点：⑴

在中，是的必要条件的理解；

⑵

如何判断是的什么条件；

⑶

在判断命题的条件与结论之间的关系时，条件的确定。

教学过程：

1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P9～P11的内容，回答下列问题．

(1)判断教材P9上方的两个命题的真假，并思考：

①当x>a2＋b2成立时，一定有x>2ab成立吗？

提示：一定有x>2ab成立．

②当ab＝0成立时，一定有a＝0成立吗？

提示：不一定，也可能b＝0. (2)阅读教材P11“思考”的内容，并思考：

①若p成立，一定有q成立吗？

提示：一定有q成立．

②若q成立，一定有p成立吗？

提示：一定有p成立．

2．归纳总结，核心必记

(1)充分条件与必要条件

命题真假

推出关系

条件关系

(2)充要条件

一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．

[问题思考] (1)x>3是x>5的充分条件吗？

提示：不是．因为x>3“若p，则q”是真命题

“若p，则q”是假命题

p⇒q p是q的充分条件

q是p的必要条件

pq

p不是q的充分条件

q不是p的必要条件

x>5，但x>5⇒x>3，因此x>3是x>5的必要条件．

(2)如果p是q的充分条件，则p是唯一的吗？

提示：不唯一，如x>3，x>5，x>10等都是x>0的充分条件．

(3)若“x∈A”是“x∈B”的充要条件，则A与B的关系怎样？

提示：A＝B.

[课前反思] (1)充分条件的定义是：

；

(2)必要条件的定义是：

；

(3)充要条件的定义是：

. [思考] 充分条件、必要条件、充要条件与命题“若p，则q”、“若q，则p”的真假性有什么关系？

名师指津：当命题“若p，则q”为真命题时，p是q的充分条件，q是p的必要条件；当命题“若q，则p”为真命题时，q是p的充分条件，p是q的必

要条件；当上述两个命题都是真命题时，p是q的充要条件．

1．判断下列各题中p是q的什么条件．

(1)在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC;

(2)p：x>1，q：x2>1；

(3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；

a(4)p：aB，则BC>AC；反之，若BC>AC，则A>B.因此，p是q的充要条件．

(2)由x>1可以推出x2>1；由x2>1，得x<－1，或x>1，不一定有x>1.因此，p是q的充分不必要条件．

(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要不充分条件．

(4)由于a

>1; 当b>0时，<1，故若a0，b>0，<1时，可以推出ab.因此ababp是q的既不充分也不必要条件．

类题·通法

充分、必要条件的判断方法

判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件，同时要注意反证法的运用．

1．判断下列各题中p是q的什么条件，并说明理由．

(1)p：a＋c>b＋d，q：a>b且c>d；

(2)p：a>1，b>1，q：f(x)＝ax－b(a>0，a≠1)的图象不经过第二象限；

(3)p：x＝1，q：x2＝x；

(4)p：a>2，q：f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数．

解：(1)a＋c>b＋d的必要不充分条件．

(2)a>1，b>1⇒f(x)＝ax－b(a>0，a≠1)的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，f(x)＝ax－b(a>0，a≠1)的图象不经过第二象限⇒a>1，b≥1，所以p是q的充分不必要条件．

(3)x＝1⇒x2＝x，而x2＝x⇒x＝0或x＝1，所以p是q的充分不必要条件．

(4)a>2⇒f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数，而f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数⇒a>1，所以p是q的充分不必要条

[思考] 如何证明“p是q的充要条件”？

名师指津：证明“p是q的充要条件”即证明命题“若p，则q”和“若q，则p”都是真命题．

2．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是a>b且c>d，而a>b且c>d⇒a＋c>b＋d，所以p是qac<0. [尝试解答] 充分性：∵ac<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，

∴方程一定有两个不等实根，分别设为x1，x2，

则x1x2＝<0，

∴方程的两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．

必要性：∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，分别设为x1，cax2，

则由根与系数的关系，得x1x2＝<0，即ac<0. 综上，可知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ca

ac<0.

类题·通法

一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p⇒q.

2．求证：1是关于x的方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0的根的充要条件是a＋b＝－(c＋d)．

证明：充分性：∵a＋b＝－(c＋d)，∴a＋b＋c＋d＝0，∴a×13＋b×12＋c×1＋d＝0成立，∴x＝1是关于x的方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0的一个根．必要性：∵关于x的方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0的一个根为1，∴a＋b＋c＋d＝0，∴a＋b＝－(c＋d)成立．综上，1是关于x的方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0的根的充要条件是a＋b＝－(c＋d).

已知p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．

[思考1] 若p是q的充分条件，则A与B有什么关系？

名师指津：A⊆B. [思考2] 若p是q的充分不必要条件，则A与B有什么关系？

名师指津：AB. [思考3] 若p是q的充要条件，则A与B有什么关系？

名师指津：A＝B. [思考4] 若p是q的既不充分也不必要条件，则A与B有什么关系？

名师指津：B

3．已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

A，且AB.

[尝试解答] p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．

因为p是q的必要不充分条件，

所以q是p的充分不必要条件，

即{x|1－m≤x≤1＋m}1－m≥－2，故有1＋m<10{x|－2≤x≤10}，

1－m>－2，或1＋m≤10，

解得m≤3. 又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0

类题·通法

根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，可以先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件、充要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．

3．若本讲中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．

解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．

因为p是q的充分不必要条件，

设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以A1－m≤－2，所以1＋m>10B.

1－m<－2，或1＋m≥10.

解不等式组得m>9或m≥9，所以m≥9，

即实数m的取值范围是{m|m≥9}．

4．本讲中p、q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？

解：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．

－2＝1－m，若p是q的充要条件，则10＝1＋m，

方程组无解．

故不存在实数m，使得p是q的充要条件．

——————————[课堂归纳·感悟提升]——————————

1．本节课的重点是充分条件、必要条件、充要条件的判断，难点是充要条件的证明以及利用充分条件、必要条件求解参数的取值范围．

2．本节课的易错点是分不清“充分条件”与“必要条件”造成解题失误，见讲1和讲3. 3．本节课要重点掌握的规律方法

(1)判断充分条件与必要条件的方法，见讲1. (2)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件

若A⊆B，则p是q的充分条件，若A是q的充分不必要条件

若B⊆A，则p是q的必要条件，若B是q的必要不充分条件

若A＝B，则p，q互为充要条件

若AB，则p

A，则p

B，且BA，则p既不是q的充分条件，

也不是q的必要条件

其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．

4．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解，见讲3. 当堂训练：

题组1 充分、必要条件的判断

1．设{an}是等比数列，则“a1

的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选C 设等比数列{an}的公比为q，若a1

a1<0，0

a1>0，或q>1，

所以数列{an}是递增数列；当数列{an}是递增数列时，有a1

) 62A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选A α＝πππ1＋2kπ(k∈Z)⇒cos 2α＝cos＋4kπ＝cos ＝；63321ππ1当cos 2α＝时，α＝kπ±.所以“α＝＋2kπ(k∈Z)”是“cos 2α＝”2662的充分不必要条件，故选A. 3．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的(

) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选A 由题意，得A

/⇒B，B⇔C，C

/⇒D，所以A不是D的充分条件；又D⇒C，C⇔B，B⇒A，所以A是D的必要条件，故选A. 4．已知向量a＝(x，y)，b＝(cos α，sin α), 其中x，y，α∈R.若|a|＝4|b|，则a·b<λ2恒成立的一个必要不充分条件是(

) A．λ>3或λ<－3 B．λ>1或λ<－1 C．－3<λ<3 D．－1<λ<1 解析：选B 由已知，得|b|＝1，所以|a|＝x2＋y2＝4，因此a·b＝xcos α＋ysin α＝x2＋y2sin (α＋φ)＝4sin(α＋φ)≤4(sin φ＝xx＋y22)．由于a·b<λ2恒成立，所以λ2>4，解得λ>2或λ<－2，因此a·b<λ2恒成立的一个必要不充分条件是λ>1或λ<－1.故选B. 题组2 充要条件的证明

5．函数y＝(2－a)x(a<2且a≠1)是增函数的充要条件是

(

)

3A．11，解得a<1.故选C. 6．求证：一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0. 证明：①充分性：如果b＝0，那么f(x)＝kx，

因为f(－x)＝k(－x)＝－kx，

即f(－x)＝－f(x)，

所以f(x)为奇函数．

②必要性：因为f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数，

所以f(－x)＝－f(x)对任意x均成立，

即k(－x)＋b＝－(kx＋b)，

所以b＝0. 综上，一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0. 题组3 利用充分、必要条件求参数的范围

17．设p：≤x≤1；q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充分不必要条件，2则实数a的取值范围是________．

解析：∵q：a≤x≤a＋1，p是q的充分不必要条件，

a≤1，2∴a＋1≥1，

1解得0≤a≤. 21

答案：

0，

28．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋(m＋1)y＝2－m与直线mx＋2y＝－8互相垂直的充要条件是m＝________. 解析：x＋(m＋1)y＝2－m与mx＋2y＝－8互相垂直⇔1·m＋(m＋1)·2＝02⇔m＝－. 3

2答案：－

39．已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x|x2－5x－24<0}，若N是M的必要条件，求a的取值范围．

解：由(x－a)2<1，得a－1

⊆N.于是a＋1≤8，围为[－2，7]．

[能力提升综合练] 1．下列说法正确的是(

) A．“x>0”是“x>1”的必要条件

B．已知向量m，n，则“m∥n”是“m＝n”的充分条件

C．“a4>b4”是“a>b”的必要条件

D．在△ABC中，“a>b”不是“A>B”的充分条件

解析：选A A中，当x>1时，有x>0，所以A正确；B中，当m∥n时，m＝n不一定成立，所以B不正确；C中，当a>b时，a4>b4不一定成立，所以C不正确；D中，当a>b时，有A>B，所以“a>b”是“A>B”的充分条件，所以D不正确．故选A. 2．设0

) 2

从而可得－2≤a≤7.故a的取值范A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选B 因为0

1，因此充分性不成立．

sin xsin x23．平面α∥平面β的一个充分条件是(

) A．存在一条直线a，a∥α，a∥β

B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β

C．存在两条平行直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

D．存在两条异面直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

解析：选D 当满足A、B、C三个选项中的任意一个选项的条件时，都有可能推出平面α与β相交，而得不出α∥β，它们均不能成为α∥β的充分条件．只有D符合．

4．已知直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”1是“△ABO的面积为”的(

) 2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选A 当k＝1时，直线l与圆O的交点是(－1,0)和(0,1)，则△ABO111的面积S＝×1×1＝，所以是充分条件；当△ABO的面积S＝时，圆心O到直22212|k|112线l的距离d＝2，所以|AB|＝21－d＝，所以S＝×2×2k＋11＋k2k＋12|k|1＝，解得k＝±1，所以不是必要条件，故选A. 221＋k5．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分不必要条件是－2

解析：根据充分条件，必要条件与集合间的包含关系，应有(－2，－1){x|(a＋x)(1＋x)<0}，故有a>2. 答案：(2，＋∞) 6．下列命题：

①“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件；

②b2－4ac<0是一元二次不等式ax2＋bx＋c<0解集为R的充要条件；

③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充分不必要条件；

④“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0 ”的必要不充分条件．

其中真命题的序号为________．

解析：①x>2且y>3时，x＋y>5成立，反之不一定，如x＝0，y＝6.所以“x>2

且y>3”是“x＋y>5”的充分不必要条件；

②不等式解集为R的充要条件是a<0且b2－4ac<0，故②为假命题；

③当a＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则＝，∴a＝2.因此，11“a＝2”是“两直线平行”的充要条件；

④lg x＋lg y＝lg(xy)＝0，

∴xy＝1且x>0，y>0. 所以“lg x＋lg y＝0”成立，xy＝1必然成立，反之不然．

因此“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件．

综上可知，真命题是④. 答案：④

1，x≥a，7．已知函数f(x)＝0，x

x－x，x≥a，解：函数h(x)＝g(x)－f(x)＝2x－x＋1，x0，

当x

函数g(x)＝x2－x＋1，求函数h(x)＝g(x)

所以当x

当x≥a时，函数h(x)＝x2－x的图象与x轴有两个交点(0,0)，(1,0)，故a≤0. 所以函数h(x)有两个零点的充要条件是a≤0. 8．设4x＋3y－12≥0，p：3－x≥0，x＋3y≤12，

q：x2＋y2>r2(x，y∈R，r>0)，若p是q的充分不必要条件，求实数r的取值范围．

解：设A＝x，y4x＋3y－12≥0，3－x≥0，x＋3y≤12

，



B＝{(x，y)|x2＋y2>r2，x，y∈R，r>0}．

如图，集合A表示的区域为图中阴影部分，集合B表示以原点为圆心、r为半径的圆的外部．

设原点到直线4x＋3y－12＝0的距离为d，

则d＝|4×0＋3×0－12|12＝. 55∵p是q的充分不必要条件，

∴AB

，∴0

12512∴实数r的取值范围是0，. 5小结：

反思：