1.1.2 四种命题优质课一等奖教案

§选修1.1.1.1 命题及四种命题

教学目标

1．了解命题的概念，能判断命题的真假．

2．了解四种命题的结构形式，会写出一个命题的逆命题、否命题与逆否命题．

学习内容

知识梳理

1．命题的定义

我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫假命题．

并不是任何语句都是命题，只有能判断真假的语句才是命题．一般来说，疑问句，祈使句，感叹句都不是命题，但是反义疑问句是命题．

如：a．“这是一棵大树”；b．“x2”；c．“三角函数是周期函数吗？”，“但愿每一个三次方程都有三个“125”，“6=2”，“”是无理数；e．“每一个不小于6的偶数都是两个根”，“指数函数的图像真漂亮！”d．奇素数之和”（歌德巴赫猜想）；“在2010年前，将有人登上火星”

2．命题的结构

数学中，具有“若p，则q”这种形式的命题是常见的，我们把这种命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论．

3．命题的四种形式

一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q来表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是：

原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p；否命题：如果p，则q；逆否命题：如果q，则p．

关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以如下表述：

（1）交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题．

如：同位角相等，两直线平行．它的逆命题就是：两条直线平行，同位角相等．

（2）同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题

如上例的否命题是：同位角不相等，两直线补平行．

（3）交换原命题的条件个结论，并同时否定，所得的命题是逆否命题．

如上例：两条直线不平行，同位角不相等．

1

例题讲解

题型一

命题的判断

例1

判断下列语句是否是命题，并说明理由．

(1)一个等差数列不是递增数列就是递减数列吗？

(2)菱形是平行四边形．

(3)在空间垂直于同一个平面的两条直线必平行．

(4)当x＝－1时，2x＋1>0.

分析：准确把握命题概念中的关键词：能判断真假，陈述句．

解析：(1)是疑问句，不是命题；

(2)是陈述句，且能够判断真假，所以是命题；

(3)是陈述句，且能够判断真假，所以是命题；

(4)是陈述句，且能够判断真假，所以是命题．

点评：判断一个语句是否是命题，要满足两个条件：①是否是陈述句；②能否判断真假．

巩

固

判断下列语句是否为命题．

(1)若a⊥b，则a·b＝0. (2)2是无限循环小数．

(3)三角形的三条中线交于一点．

(4)x2－4x＋4≥0(x∈R)．

(5)非典型肺炎是怎样传播的？

(6)2012年广东的高考题真难！

答案：(1-4)是，(5、6)不是.

题型二

真假命题的判断

例2

判断下列命题的真假，并说明理由．

(1)形如a＋6b的数是无理数；

(2)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；

(3)奇函数的图象关于原点对称；

(4)能被2整除的数一定能被4整除．

2

解析：(1)假命题．示例：若a是有理数且b＝0，则a＋6b是有理数．(2)假命题．若数列{an}为等比数列，且a1＝－1，q＝2，则该数列为递减数列．(3)真命题．根据奇函数的性质可知，奇函数的图象一定关于原点对称．(4)假命题．反例：如2、6能被2整除，但不能被4整除．

点评：要判断一个命题是假命题，只需要举出一个反例即可．而要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证．在判断时，要有推理依据，有时应综合各种情况作出正确的判断．

巩

固

判断下列语句中哪些是命题，是真命题还是假命题．

(1)一个等比数列的公比大于1时，该数列一定为递增数列．

(2)求证：若x∈R，方程x2－x＋2＝0无实根．

(3)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？

(4)当x＝4时，

2x＋1＞0.

解析：(1)是命题，因为当等比数列的首项a1<0，公比q>1时，该数列为递减数列，所以是一个假命题．

(2)不是命题，它是祈使句．

(3)不是命题，它是一个疑问句，没有作出判断．

(4)是命题，能判断真假，它是一个真命题．

题型三

命题的结构

例3

把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．

(1)负数的立方是负数；

(2)等边三角形的三个内角相等．

分析：找准命题的条件和结论，是解这类题目的关键，要注意大前提的写法．

解析：(1)若一个数是负数，则它的立方是负数．真命题．

(2)若一个三角形为等边三角形，则它的三个内角相等．真命题．

点评：数学中，“若p，则q”这种形式是命题的结构形式，这里p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．但有一些命题虽然表面上不是“若p，则q”的形式，但是把它的表述作适当改变，也可以写成“若p，则q”的形式．解决这类题目的关键是找准命题的条件和结论，对于个别问题还要注意大前提的写法．若条件和结论比较隐含，要补充完整．

巩

固

把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．

(1)等腰三角形的两个底角相等；

(2)当x＝2或x＝4时，x2－6x＋8＝0；

(3)矩形的对角线相等；

(4)当a＞b，c∈R时，ac2>bc2.

3

解析：命题(1)：若一个三角形是等腰三角形，则它的两个底角相等．显然这个命题是真命题．

命题(2)：若x＝2或x＝4，则x2－6x＋8＝0.通过检验可知这个命题是真命题．

命题(3)：若一个四边形是矩形，则它的对角线相等．是真命题．

命题(4)：若

a＞b，c∈R，则ac2＞bc2.是假命题，因为c＝0时，ac2＞bc2不成立．

题型四

写出已知命题的逆命题、否命题与逆否命题

例4

写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．

(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；

(2)当x＝3时，x2－2x－3＝0.

分析：首先把命题写成“若p，则q”的形式，再按四种命题之间的关系写出逆命题、否命题和逆否命题．

解析：(1)逆命题：如果一条直线垂直于平面，那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线；

否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于平面；

逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线．

(2)原命题：若x＝3，则x2－2x－3＝0. 逆命题：若x2－2x－3＝0，则x＝3；

否命题：若x≠3，则x2－2x－3≠0；

逆否命题：如果x2－2x－3≠0，那么x≠3. 点评：要实现四种命题的转化首先找出原命题的条件和结论，然后利用四种命题的条件、结论之间的关系进行转化．

巩

固

下列四个命题：①“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题；②“正方形是菱形”的否命题；③“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题；④若“m>2，则x2－2x＋m>0，x∈R”．其中真命题的个数为(

）

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

答案：B

综合题库

A组

1．下列语句中命题的个数是(

) ①3>－1；②x<8；③若sin A＝sin B，则A＝B；④函数f(x)＝x3是R上的奇函数．

4

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

答案：D

2．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是(

) A．若α≠π4，则tan α≠1

B．若α＝π4，则tan α≠1

C．若tan α≠1，则α≠π4

D．若tan α≠1，则α＝π4

解析：否定原命题的结论作条件，否定原命题的条件作结论所得的命题为逆否命题，可知C正确．

答案：C

3．有下列命题：

①若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；②若a＞b，则a＋c＞b＋c；③矩形的对角线互相垂直．其中真命题共有(A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

答案：B

B组

一、选择题

1.下列判断，正确的个数是(

) ①3是12的约数；②π是正数；③5＞2且7＞3；④2≥2.

A．4个

B．3个

C．2个

D．1个

解析：①②③④正确．故选A. 答案：A

2．下列各项中是命题的是(

) A．周期函数的和是周期函数吗？

B．sin 45°＝1 C．x2＋2x－1>0 D．梯形是不是平面图形呢？

答案：B 5

)

3．语句“若a>b，则a－c>b－2c”(

) A．不是命题

B．是真命题

C．是假命题

D．不能判断真假

解析：a－c>b－2c，即a>b－c，当c<0时，可能不成立，例如：a＝2，b＝1，c＝－2时，a>b，但a

4．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是(

) A．4

B．2

C．1

D．－3

解析：方程无实根时，应满足Δ＝a2－4<0.故a＝1时适合条件．

答案：C

5．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是(

) A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3

B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3

C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面

D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面

解析：在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．

答案：B

二、填空题

6．有下列语句：①集合{a，b}有2个子集；②x2－4≤0；③今天天气真好啊；④f(x)＝2log3x(x>0)是奇函数；⑤若A∪B＝A∩B，则A＝B.其中真命题的序号为________．

解析：①是命题，但不是真命题，因为{a，b }应有4个子集；②不是命题；③不是命题；④是假命题，f(x)＝2log3x是非奇非偶函数；⑤是命题且是真命题．

答案：⑤

7. 命题“当AB＝AC时，△ABC是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有________个．

解析：原命题为真命题，逆命题“当△ABC是等腰三角形时，AB＝AC”为假命题，否命题“当AB≠AC时，△ABC不6

是等腰三角形”为假命题，逆否命题“当△ABC不是等腰三角形时，AB≠AC”为真命题．

答案：2

8．下面有五个命题：

①函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；

kπα＝，k∈Z；

②终边在y轴上的角的集合是α2

ππ2x＋的图象向右平移，得到y＝3sin 2x的图象；

③把函数y＝3sin36πx－在[0，π]上是减函数．

④函数y＝sin2其中真命题的序号是________．

解析：①y＝sin4x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＝－cos 2x，∴T＝π；

π②终边在y轴上的角的集合为αα＝kπ＋2，k∈Z；

ππx－＋＝3sin 2x. ③平移后y＝3sin263πx－＝－cos x，在[0，π]上应是增函数．

④函数y＝sin2答案：①③

三、解答题

9. 把下列命题写成“若p，则q”的形式，并指出条件与结论．

(1)相似三角形的对应边成比例；

(2)当0

解析：(1)若两个三角形相似，则它们的对应边成比例．条件p：三角形相似，结论q：对应边成比例．

(2)若0

条件p：0

10．设原命题为“已知a、b是实数，若a＋b是无理数，则a、b都是无理数”．写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并分别说明他们的真假．

解析：逆命题：已知a、b为实数，若a、b都是无理数，则a＋b是无理数．

如a＝2，b＝－2，a＋b＝0为有理数，故为假命题．

否命题：已知a、b是实数，若a＋b不是无理数，则a、b不都是无理数．由逆命题为假知，否命题为假．

逆否命题：已知a、b是实数，若a、b不都是无理数，则a＋b不是无理数．

如a＝2，b＝2，则a＋b＝2＋2是无理数，故逆否命题为假．

7

归纳总结

1．根据命题的意义，可以判断真假的陈述句是命题，命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可．

2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式．含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式，大前提应保持不变.

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