小结第一课时导学案

《立体几何中的向量方法》复习课

基本信息

课题：《立体几何中的向量方法》复习课

所属学科

教龄

数学

1年

年级

授课教师

高二

李秀慧

设计理念

现代教育强调“知识结构”与“学习过程”，目地在于发展学生的思维能力.本节课把知识作为思维过程的材料和媒介，通过具体问题的解决过程积累数学实践操作的经验，促使学生形成和发展数学学科核心素养，培养学生的数学思维品质. 【教材分析】

本节课是人教版高中数学选修2－1第三章第二节《立体几何中的向量方法》的复习课，是对这一节所学知识的整理与概括.利用向量法解决立体几何问题是高考的热点，题型主要为解答题，主要考察向量的坐标运算，以及将空间中的位置关系、空间角和距离问题转化为向量之间的关系，同时注重考察学生的空间想象能力和运算能力. 【学情分析】

本节课的教学对象是高二理科普通班的学生，经过本章的学习，学生对用向量法解决立体几何问题有了一定的认识，但是通过平时的课堂教学和课后作业的反馈，学生对这一节的基础理论掌握不准确，解题中建立适当的坐标系以及向量的运算是学生的困难所在，尤其是对个别空间想象能力较差、数学基础薄弱的学生.通过本节复习课，意在帮助学生梳理和建构本节知识体系，提高学生用向量方法解决立体几何问题的思维能力，使学生进一步体会空间向量在解决立体几何问题中的广泛应用. 【教学目标】

知识与技能目标：学会用向量方法解决线面位置关系，空间角和距离的计

算问题. 过程与方法目标：经历从梳理基础知识到解答问题的实际操作，使学生准确掌握立体几何问题与向量之间的关系，体会向量方法在研究立体几何问题中的作用.

情感态度价值观目标：体会转化思想在数学中的应用，进一步发展学生空间想象能力、运算能力和几何直观能力. 【教学重难点】

教学重点：向量法求解立体几何问题的基础理论，以及应用这些基础理论判断空间几何体的位置关系、求空间角和空间中的距离. 教学难点：建立适当的空间直角坐标系以及添加辅助线；空间角尤其是二面角是锐角还是钝角的判断. 【教学过程】

一、基础梳理

（一）向量法判断空间几何体的位置关系

设直线l、m的方向向量分别为a、b，平面、的法向量分别为u、v，

1、平行关系

（1）线线平行：lmabab；

（2）线面平行：lauau0；

（3）面面平行：uvuv. 2、垂直关系

（1）线线垂直：lmabab=0；

（2）线面垂直：laua=u；

（3）面面垂直：uvuv=0. （二）向量法求空间角

设直线l、m的方向向量分别为a、b，平面、的法向量分别为u、v，

1、线线角：设直线l、m的夹角为0，，则coscosa,b；

2

2、线面角：设直线l和平面所成角为0，，则sincosa,u；

2 3、面面角：设平面和平面所成角为0，，则

“同进同出”：

coscosu,v；

“一进一出”：

coscosu,v.

（三）向量法求空间距离

1、点到线的距离：设点P到直线l的距离为d，则

dAPsinAP,a.

2、点到面的距离：设点P到平面的距离为d，则

dAPcosAP,uAPuu. 说明：当线面平行或面面平行时，线到面、面到面的距离均可以转换成点到面的距离来计算。

3、异面直线的距离：设点P到平面的距离为d，则

dAPcosAP,nAPnn（其中n为异面直线m和l的公垂向量）.

【设计思路】通过多媒体将向量法求解立体几何问题的基础理论再现，结

合图形使同学在脑中形成图形与知识的对应，提高学生的数形结合能力和空间

想象能力。

二、实践操作

高考对空间向量的考查是以立体几何为载体，利用空间向量求有向线段的长度，求两条有向线段的夹角（或其余弦、正弦、正切），二面角、点到平面的距离、异面直线的距离、证明线线、线面、面面垂直等. 向量法分为基向量法和向量坐标法两种，基向量法首先需要找到三个不共面向量作为一组基底，把问题涉及到的向量用基底向量来表示，并进行坐标的运算.运用向量坐标法时，也必须首先找出三个基向量，并且这三个基向量两两垂直,由此建立空间直角坐标系，把向量用坐标来表示，用向量的坐标形式进行向量的运算，以达到解决问题的目的. 因而向量坐标法是基向量法的特殊情形，但坐标法用于求长度、角度或解决平行、垂直问题时，比较简单. 我们通常所说的向量法多指向量坐标法. 问题：用空间向量解决立体几何问题的步骤是什么？

（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及到的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；

（2）通过向量运算, 研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；

（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义. 例1

如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点. （1）在直线CC1上求一点N，使MNAB1；

（2）当MNAB1时，求点A1到平面AMN的距离. （3）求出AB1与侧面ACC1A1所成的角.

在向量法下，例1几何体中容易找到共点不共面且互相垂直的三个向量，于是有如下解法：

（1）解：以A为坐标原点，AC、AA1方向分别为y轴、z轴正方向，垂直于AC、AA1的Ax为x轴正方向建立空间直角坐标系Axyz. 31

,,2)、22333131M(,,0)，则MN(,,a),AB1(,,2)，442244由AB1MN得

A1B1C1NABMC设N(0,1,a)，由图A(0,0,0)、B1(

3131,,a)(,,2)0

442231 2a0

881 a

81所以CC1上存在点N(0,1,)，使得MNAB1.

8MNAB10(由上面的向量法可知，通过建立空间直角坐标系，找出相关点的坐标，从而把几何图形的性质代数化，通过向量的计算解决问题，显得快捷简便. 在空间直角坐标系下，例1的第（2）、（3）问便迎刃而解了，下面给出解答: （2）解：当MNAB1时，由（1）知，

13331

M(,,0)、

N(0,1,)、A1(0,0,2)，

,,2)、8442231133则MN(,,)，AM(,,0)，AA1(0,0,2). 44844设向量n(x,y,z)与平面AMN垂直，则有

B1(A(0,0,0)、311xyz0x3ynMN448

nAM33z8yxy044则平面的一个法向量为n(3,1,8).

向量AA1到平面AMN的距离，设为d，于是

1在n上的射影长即为Ad|AA1||cosAA1,n||AA1||AA1n||(0,0,2)(3,1,8)|817. 22217|AA1||n|(3)(1)8（3）根据上面所提到的方法，须求出平面ACC1A1的一个法向量，进而求AB1与法向量的夹角. 设平面ACC1A1的一个法向量为m，显然平面ACC1A1的一个法向量为

m(1,0,0)，设AB1与侧面ACC1A1所成的角为，则

|AB1m||AB1||m|((31,,2)(1,0,0)2215，

10sin|cosAB1,m|3212)()(2)21222故AB1与侧面ACC1A1所成的角为arcsin15. 10本题的解题过程告诉我们，用向量法求空间角与距离，就是用空间向量将

所求问题转化为坐标表示的数量关系，解题的关键是根据几何体的特点，选取

恰当的坐标原点和坐标轴，一般来说，长方体、正方体中较为容易建立坐标系．

跟踪练习1：如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，

（1）求证：AB1平面A1BD； （2）求二面角AA1DB余弦值的大小；

（3）求点C到直线A1B的距离.

向量法解决立体几何的探索性问题：

例2

如图，已知四棱锥SABCD的底面是边长为4的正方形，S在底面上的射影O落在正方形ABCD内，且O到AB、AD的距离分别为2,1. （1）求证：ABSC是定值； （2）已知P是SC的中点，且SO=3，问在棱SA上是否存在一点Q，使异面直线OP与BQ所成角为90？若不存在，说明理由，若存在，求出AQ的长.

说明：若用传统的几何证明的方法求这类探索性问题，需要猜测、寻找适合条件的点，然后证明，思维上造成困难.而用空间向量法只需要用一个参量设出待确定的点的坐标，就可用向量的运算解决学生的难点和困惑. 跟踪练习2：如图1，A，D分别是矩形A1B、D1C上的点，AB＝2AA1＝2AD＝2，DC＝2DD1，把四边形A1ADD1沿AD折叠，使其与平面ABCD垂直，如图2所示，连接A1B，D1C得几何体ABA1-DCD1. （1）当点E在棱AB上移动时，证明：D1E⊥A1D；

π（2）在棱AB上是否存在点E，使二面角D1-EC-D的平面角为6？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由．

类似的考题在近几年的高考及全国各省市的模拟试题中均可找到. 用向量法证明空间中的位置关系或求空间角与距离，要确定向量的坐标，就必须选取直角坐标系，为了使所得点的坐标方便计算和证明，一定要分析空间几何体的

结构特征，选其上面合适的点作原点，合适的直线和方向作坐标轴；其次要灵活运用平面几何的知识、直线与平面的知识来找出点的坐标；此外，

构造直线的方向向量或平面的法向量，在求解立体几何问题时起到了桥梁的作用，在解题过程中只须求出而不必在图形中作出来．

由上可见，利用向量法求解立体几何问题与综合法的“作、证、算”有较大差异.

掌握了以上的基本概念和方法，就会使解决立体几何中夹角与距离的问题难度降低，也拓展了我们解决问题的思路. 三、总结升华

1、本节课主要知识：向量坐标法求解平行、垂直、空间角、距离问题的理论知识和实际应用；

2、本节课主要思想：数形结合、转化化归、方程思想；

3、本节课学生存在的主要问题：

①建系不得当，导致坐标不好算；

②计算疏忽；

③角的问题尤其是二面角的求解中，锐角、钝角的判断比较困难；

④探索性问题中待确定的点的坐标设置不得当. 【板书设计】

《立体几何中的向量方法》 复习课

（一）平行与垂（二）空间角

（三）空间距离

一、知识梳理 二、实践操作 例1：

练习1：

例2：

练习2：

三、总结升华 本节收获:

思想方法：

直关系