3.2.2 直线的两点式方程第二课时教学设计

课题

3.2.2直线的两点式方程

课型

新授课

教学

目标

1.让学生掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程，并能运用这两种形式求出直线的方程.培养学生数形结合的数学思想，为今后的学习打下良好的基础. 2.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.培养学生的空间想象能力和抽象括能力。

重点

难点

教具

准备

教学重点：直线方程两点式和截距式

教学难点：关于两点式的推导以及斜率k不存在或斜率k=0时对两点式方程的讨论及变形.

多媒体、三角板

课时

安排

1课时[来源:学科网ZXXK]

教学过程与教学内容

一、复习

二、导入新课

上节课我们学习了直线方程的点斜式，请问点斜式方程是什么？点斜式方程是怎样推导的？利用点斜式解答如下问题：

（1）已知直线l经过两点P1(3,-5),P2(-2,5),求直线l的方程. （2）已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2)，求通过这两点的直线方程. 这个答案对我们有何启示？求解过程可不可以简化？我们可不可以把这种直线方程取一个什么名字呢? 推进新课

三、新知探究

提出问题

①已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2)，求通过这两点的直线方程. ②若点P1(x1,y1),P2(x2,y2)中有x1=x2或y1=y2，此时这两点的直线方程是什么？

③两点式公式运用时应注意什么？

④已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0,b)，其中a≠0,b≠0，求直线l的方程. ⑤a、b表示截距是不是直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？

⑥截距式不能表示平面坐标系下哪些直线？

活动:①教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程.师生共同归纳：

已知直线上两个不同点，求直线的方程步骤：

a.利用直线的斜率公式求出斜率k; b.利用点斜式写出直线的方程. 教学方法、教学手段与学法、学情

让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。

∵x1≠x2,k=y2y1yy1,∴直线的方程为y-y1=2(x-x1). x2x1x2x1y2y1(x-x1).①

x2x1yy1xx1.②

y2y1x2x1∴l的方程为y-y1=当y1≠y2时,方程①可以写成由于②这个方程是由直线上两点确定的，因此叫做直线方程的两点式. 注意：②式是由①式导出的，它们表示的直线范围不同.①式中只需x1≠x2，它不能表示倾斜角为90°的直线的方程；②式中x1≠x2且y1≠y2，它不能表示倾斜角为0°或90°的直线的方程，但②式相对于①式更对称、形式更美观、更整齐，便于记忆.如果把两点式变成(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)，那么就可以用它来求过平面上任意两已知点的直线方程. ②使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式.教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当x1=x2时，直线与x轴垂直，所以直线方程为x=x1；当y1=y2时，直线与y轴垂直，直线方程为y=y1. ③引导学生注意分式的分母需满足的条件. ④使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形.教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线l的方程？哪种方法更为简捷？然后求出直线方程. 因为直线l经过(a，0)和(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得y0xa.①

b00axy就是=1.②

ab注意：②这个方程形式对称、美观,其中a是直线与x轴交点的横坐标，称a为直线在x轴上的截距，简称横截距；b是直线与y轴交点的纵坐标，称b为直线在y轴上的截距，简称纵截距. 因为方程②是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，所以方程②式叫做直线方程的截距式. ⑤注意到截距的定义，易知a、b表示的截距分别是直线与坐标轴x轴交点的横坐标，与y轴交点的纵坐标，而不是距离. ⑥考虑到分母的原因，截距式不能表示平面坐标系下在x轴上或y轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式. 讨论结果：①若x1≠x2且y1≠y2,则直线l方程为yy1xx1. y2y1x2x1②当x1=x2时，直线与x轴垂直，直线方程为x=x1；当y1=y2时，直线与y轴垂直，直线方程为y=y1. ③倾斜角是0°或90°的直线不能用两点式公式表示(因为x1≠x2,y1≠y2). ④xy=1. ab

⑤a、b表示的截距分别是直线与坐标轴x轴交点的横坐标，与y轴交点的纵坐标，而不是距离. ⑥截距式不能表示平面坐标系下在x轴上或y轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式.

四、应用示例

例1

求出下列直线的截距式方程：

（1)横截距是2，纵截距是3；

（2)横截距是-5，纵截距是6；

变式训练

3.根据下列条件，求直线的方程：

(1)过点(0,5),且在两坐标轴上的截距之和为2；

(2)过点(5,0),且在两坐标轴上的截距之差为2；

例2

如图1,已知三角形的顶点是A(－5，0)、B(3，－3)、C(0，2)，求这个三角形三边所在直线的方程. [来源:学§科§网Z§X§X§K]

图1 活动:根据A、B、C三点坐标的特征，求AB所在的直线的方程应选用两点式；求BC所在的直线的方程应选用斜截式；求AC所在的直线的方程应选用截距式.

解：AB所在直线的方程，由两点式,得

y0x(5),即3x+8y+15=0. 303(5)5x+2,即5x+3y-6=0. 3xy=1,即2x-5y+10=0. AC所在直线的方程，由截距式,得52BC所在直线的方程，由斜截式,得y=-变式训练：课本练习

五、拓展提升：对截距概念的深刻理解

问题：

1、求过(2,3)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线

?

变：过(2,3)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条?

2、已知直线l过定点P(3,2)且与x轴、y轴的正半轴分别

交

于A、B两点。求△AOB面积的最小值及此时l的方程

六、小结

七、作业

P100

8、9.

3.2.2直线的两点式方程

直线方程的两点式

例题

板书设计

yy1xx1（x1≠x2，y1≠y2）

y2y1x2x11.可取之处：（1）两点式方程的教学由具体事例引入，再推广到一般情形，让学生经历知识的形成过程. （2）变教师讲两点式方程的导出为学生讲，教师再采取追问的方式深入挖掘内涵，使学生透过现象看到本质. 教学

反思

（3）注重了数学思想和方法的教学，数学思想是灵魂，数学方法是解决问题的手段.使方程思想、数形结合思想、分类讨论思想贯穿了本节课的始终. 2.不足之处：本节课的课堂总结及方程的适用条件的处理，让学生去归纳效果会更好。