2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系国家获奖教案

第4讲

直线、平面平行的判定及其性质

【复习指导】

1．熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质，会把空间问题转化为平面问题，解答过程中叙述的步骤要完整，避免因条件书写不全而失分．

2．学会应用“化归思想”进行“线线问题、线面问题、面面问题”的互相转化，牢记解决问题的根源在“定理”．

基础梳理

1．平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况．

2．直线和平面平行的判定

(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；

(2)判定定理：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α；

(3)其他判定方法：α∥β；a⊂α⇒a∥β. 3．直线和平面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒a∥l. 4．两个平面平行的判定

(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；

(2)判定定理：a⊂α，b⊂α，a∩b＝M，a∥β，b∥β⇒α∥β；

(3)推论：a∩b＝M，a，b⊂α，a′∩b′＝M′，a′，b′⊂β，a∥a′，b∥b′⇒α∥β. 5．两个平面平行的性质定理

(1)α∥β，a⊂α⇒a∥β；

(2)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b. 6．与垂直相关的平行的判定

(1)a⊥α，b⊥α⇒a∥b；

(2)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.

一个关系

平行问题的转化关系：

两个防范

(1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．

(2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行．

双基自测

1．(人教A版教材习题改编)下面命题中正确的是(

)．

①若一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；

②若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；

③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；

④若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行．

A．①③

B．②④

C．②③④

D．③④

解析

①②中两个平面可以相交，③是两个平面平行的定义，④是两个平面平行的判定定理．

答案

D 2．平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则直线a，b的位置关系是(

)．

A．平行

B．相交

C．异面

D．平行或异面

答案

D 3．(2012·银川质检)在空间中，下列命题正确的是(

)．

A．若a∥α，b∥a，则b∥α

B．若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥α

C．若α∥β，b∥α，则b∥β

D．若α∥β，a⊂α，则a∥β

解析

若a∥α，b∥a，则b∥α或b⊂α，故A错误；由面面平行的判定定理知，B错误；若α∥β，b∥α，则b∥β或b⊂β，故C错误．

答案

D 4．(2012·温州模拟)已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是(

)．

A．m∥n，m⊥α⇒n⊥α

B．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n

C．m⊥α，m⊥n⇒n∥α

D．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β

解析

选项A中，如图①，n∥m，m⊥α⇒n⊥α一定成立，A正确；选项B中，如图②，α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m与n互为异面直线，∴B不正确；选项C中，如图③，m⊥α，m⊥n⇒n⊂α，∴C不正确；选项D中，如图④，m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α与β相交，∴D不正确.

答案

A 5．(2012·衡阳质检)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．

解析

如图．

连接AC、BD交于O点，连结OE，因为OE∥BD1，而OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，所以BD1∥平面ACE. 答案

平行

考向一

直线与平面平行的判定与性质

【例1】►(2011·天津改编)如图，

在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC的中点，M为PD的中点．

求证：PB∥平面ACM. [审题视点] 连接MO，证明PB∥MO即可．

证明

连接BD，MO.在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点．又M为PD的中点，所以PB∥MO.因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，所以PB∥平面ACM.

利用判定定理时关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．

【训练1】

如图，若

PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点，求证：AF∥平面PCE. 证明

取PC的中点M，连接ME、MF，

则FM∥CD且FM＝CD.

又∵AE∥CD且AE＝CD，

∴FM綉AE，即四边形AFME是平行四边形．

∴AF∥ME，又∵AF⊄平面PCE，EM⊂平面PCE，

∴AF∥平面PCE. 考向二

平面与平面平行的判定与性质

【例2】►如图，

在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别为所在边的中点．

求证：平面MNP∥平面A1C1B；

[审题视点] 证明MN∥A1B，

MP∥C1B. 证明

连接D1C，则MN为△DD1C的中位线，

∴MN∥D1C. 又∵D1C∥A1B，∴MN∥A1B.同理，MP∥C1B. 而MN与MP相交，MN，MP在平面MNP内，A1B，C1B在平面A1C1B内．∴平面MNP∥平面A1C1B.

证明面面平行的方法有：

(1)面面平行的定义；

(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；

(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；

(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；

(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．

【训练2】

如图，

在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

(1)B，C，H，G四点共面；

(2)平面EFA1∥平面BCHG. 证明

(1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，

∴B，C，H，G四点共面．

(2)∵E、F分别为AB、AC的中点，∴EF∥BC，

∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，

∴EF∥平面BCHG. ∵A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，

∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG. ∴A1E∥平面BCHG. ∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG. 考向三

线面平行中的探索问题

【例3】►如图所示，

在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面ABC，若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

[审题视点] 取AB、BB1的中点分别为E、F，证明平面DEF∥平面AB1C1即可．

解

存在点E，且E为AB的中点．

下面给出证明：

如图，取BB1的中点F，连接DF，

则DF∥B1C1. ∵AB的中点为E，连接EF，

则EF∥AB1. B1C1与AB1是相交直线，

∴平面DEF∥平面AB1C1. 而DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.

解决探究性问题一般要采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾)，则不存在．

【训练3】

如图，

在四棱锥PABCD中，底面是平行四边形，PA⊥平面ABCD，点M、N分别为BC、PA的中点．在线段PD上是否存在一点E，使NM∥平面ACE？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

解

在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE.

证明如下：如图，取PD的中点E，连接NE，EC，AE，

因为N，E分别为PA，PD的中点，所以NE綉AD. 又在平行四边形ABCD中，CM綉AD.所以NE綉MC，即四边形MCEN是平行四边形．所以NM綉EC. 又EC⊂平面ACE，NM⊄平面ACE，所以MN∥平面ACE，

即在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE.

规范解答13——怎样证明线线、线面、面面平行与垂直的综合性问题

【问题研究】

高考对平行、垂直关系的考查主要以线面平行、线面垂直为核心，以多面体为载体结合平面几何知识，考查判定定理、性质定理等内容，难度为中低档题目. 【解决方案】

利用定理证明线面关系时要注意结合几何体的结构特征，尤其注意对正棱柱、正棱锥等特殊几何体性质的灵活运用，进行空间线面关系的相互转化. 【示例】►(本题满分12分)(2011·山东)如图，

在四棱台ABCDA1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°. (1)证明：AA1⊥BD；

(2)证明：CC1∥平面A1BD.

第(1)问转化为证明BD垂直A1A所在平面；第(2)问在平面A1BD内寻找一条线与CC1平行．

[解答示范] 证明

(1)因为D1D⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，

所以D1D⊥BD.(1分) 又因为AB＝2AD，∠BAD＝60°，

在△ABD中，由余弦定理得BD＝AD＋AB－2AD·ABcos 60°＝3AD，所以AD＋BD＝AB，

因此AD⊥BD.(4分) 又AD∩D1D＝D，

所以BD⊥平面ADD1A1. 又AA1⊂平面ADD1A1，

故AA1⊥BD.(6分)

(2)如图，连结AC，A1C1，

设AC∩BD＝E，连结EA1，

因为四边形ABCD为平行四边形，

所以EC＝AC.(8分) 由棱台定义及AB＝2AD＝2A1B1知A1C1∥EC且A1C1＝EC，所以四边形A1ECC1为平行四边形，(10分) 因此CC1∥EA1. 又因为EA1⊂平面A1BD，

2222222CC1⊄平面A1BD，

所以CC1∥平面A1BD.(12分)

证明线面关系不能仅仅考虑线面关系的判定和性质，更要注意对几何体的几何特征的灵活应用．证明的依据是空间线面关系的判定定理和性质定理．另外根据几何体的数据，通过计算也可得到线线垂直的关系，所以要注意对几何体中的数据的正确利用．

【试一试】 (2010·安徽)

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．

(1)求证：FH∥平面EDB；

(2)求证：AC⊥平面EDB；

(3)求四面体BDEF的体积．

[尝试解答] (1)证明

设AC与BD交于点G，则G为AC的中点．连EG，GH，由于H为BC的中点，故GH綉AB. 又EF綉AB，∴EF綉GH. ∴四边形EFHG为平行四边形．

∴EG∥FH，而EG⊂平面EDB，∴FH∥平面EDB.

(2)证明

由四边形ABCD为正方形，有AB⊥BC. 又EF∥AB，∴EF⊥BC. 而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC，∴EF⊥FH. ∴AB⊥FH.又BF＝FC，H为BC的中点，

∴FH⊥BC.∴FH⊥平面ABCD. ∴FH⊥AC.又FH∥EG，∴AC⊥EG. 又AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面EDB. (3)解

∵EF⊥FB，∠BFC＝90°，∴BF⊥平面CDEF. ∴BF为四面体BDEF的高．

又BC＝AB＝2，∴BF＝FC＝. VB－DEF＝××1××＝.