1.2.1 充要条件优质课教案内容

充要条件

教学目标：

1、使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件的定义，能够正确的判断，从而解决问题。

2、通过学生的自主学习，提高学生的理解能力，解决问题的能力以及总结能力。

教学重点、难点：

重点：充要条件的概念和判断。

难点：对充要条件的理解。

教具：

多媒体

教学内容：

（一）问题提出

1.

充分条件与必要条件的含义分别是什么？

2.

对于两个语句，p可能是q的充分条件，p也可能是q的必要条件，除此以外

p与q之间的逻辑关系还有哪些可能？

（二）课题引入

P：整数a是6的倍数。q：整数a是2和3的倍数。

P是q的什么条件？q又是p的什么条件？

（学生讨论回答）

充要条件的含义：

一般的，如果有p→q，同时q→p，就说p和q互为充要条件。

例1下列各组语句中，p是q的什么条件？

（1）p：a＞0，b＞0，q：a＋b＞0；

（2）p：四边形的四条边相等，

q：四边形是正方形；

（3）p：|x|＜1，q：－1＜x＜1；

（4）p：a＞b，q：a2＞b2. 学生自主回答。

探究：充分、必要条件的分类

若pq，且q不能p，则p是q的充分不必要条件；

若pq，且p不能q，则p是q的必要不充分条件；

若pq，且pq，则p是q的充要条件；

若p不能q，且q不能p，则p是q的既不充分也不必要条件. 例2 下列各题中，那些p是q的充要条件．

（1）p：b＝0，

q：f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；

（2）p：x＞0,y＞0，q：xy＞0；

（3）p：a＞b，q：a＋c＞b＋c；

（4）p：两直线平行；

q：两直线的斜率相等. 探究：判断充分条件、必要条件的方法

1、直接用定义判断

2、利用命题的四种形式进行判定

p是q的充分不必要条件，原命题为真逆命题为假；

p是q的必要不充分条件，原命题为假逆命题为真；

p是q的充要条件，原命题、逆命题都为真；

p是q的既不充分也不必要条件，原命题、逆命题都为假. 例3 给出下列四个结论

1）若AB且BA，则称p是q的充分不必要条件

2）若AB且BA，则称p是q的必要不充分条件

3）若AB且BA，则称p是q的既不充分也不必要

4）若AB且BA，既A=B，则称p是q的充要条件

3、利用集合的关系判定

设：A{x|x满足条件p}B{x|x满足条件q}

1、若a,bR,则“a2b20”

是“a,b全不为0”的充要条件；

2、若a,bR,则“a2b20”

是“a,b不全为0”的充要条件；

3、x2y2是xy或xy的充要条件；

4、是tantan的充分不必要条件。

其中正确中正确的______.

练习：

1、已知p：|x+1|＞2，q：x2＜5x－6,则p是q的（

）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既非充分又非必要条件

2、设集合M={x|x>2},N={x|x<3},那么“x∈M或x∈N”

是“x∈M∩N”的(

)

A.充要条件

B .必要不充分条件

C .充分不必要

D .不充分不必要

3、a∈R,|a|<3成立的一个必要不充分条件是(

)

A.a<3

B.|a|<2

C.a2<9

D.0

由于逻辑联结符号“”、“”、“”具有传递性，因此可根据几个条件之间的关系，经过若干次的传递判断所要判断的两个条件之间的依存关系。例4已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的（

）

Ａ充分非必要条件

Ｂ必要非充分条件

Ｃ充要条件

Ｄ既非充分又非必要条件

练习

1、已知p,q都是r的必要条件，

s是r的充分条件，q是s的充分条件，则

（1）s是q的什么条件？

（2）r是q的什么条件？

（3）P是q的什么条件？

2.若A是B的必要而不充分条件，C是B的充要条件，D是C的充分而不必要条件，那么D是A的________ 例５

已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件. 小结

1.

p是q的充分条件包括两种可能，即p是q的充分不必要条件或p是q的充要条件；同样，p是q的必要条件也包括两种可能，即p是q的必要不充分条件或p是q的充要条件. 2.

关于充要条件命题的证明，一般分充分性和必要性两个方面进行，其中由条件推出结论就是充分性，由结论推出条件就是必要性. 3.

充要条件是一种等价关系，许多数学问题的求解，就是求结论成立的充要条件. 在判断p是q的什么条件时，要“正逆互推，注意特例”.