习题2.3教学设计及课堂实录

解析几何中的四种定值问题

解析几何中的定值问题是高考命题的一个热点，也是解析几何问题中的一个难点，在求解过程中往往伴随复杂的运算。提高解决此类问题的效率，对学生思维的深度，做题的专注度，以及基本运算能力的培养，都有非常积极的意义。

一.角为定值

例1.在平面直角坐标系xoy中，圆C的方程为(x1)2y24，P为圆C上一点．若存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA,PB，切点分别为A,B，当P在圆C上运动时，使得APB恒为60，求圆M的方程．

解：设定圆圆心Ma,b，半径为r，动点Px,y，由题意知MP2r，

2即xayb4r，

220由于点P在圆C：(x－1)2＋y2＝4上，

所以有22ax2bya2b24r230对任意x,y都成立，

所以a1,b0,r21，

所求圆方程为(x－1)2＋y2＝1．

x2y23变式：已知双曲线C：221(a0,b0)的离心率为3,右准线方程为x.设3ab直线l是圆O:x2y22上动点P(x0y0)(x0y00)处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A,B，证明：AOB的大小为定值. ce3a1a证明：由题意：2解得：

c3a33cy21

所以bca2；所以双曲线方程为：x22222点P(x0y0)(x0y00)在圆O:x2y22上，

圆在点P(x0y0)处的切线l的方程为yy0化简得x0xy0y2

x0(xx0), y0

x0xy0y22222由2y2及x0y02,得（3x04)x24x0x82x00

1x2因为切线l与双曲线C交于不同的两点A,B且0x02

所以3x040，且16x04(3x04)(82x0)0

设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)

则x1x2222224x03x042,x1x282x0223x04,

因为cosAOBOAOB|OA||OB|且OAOBx1x2y1y2x1x21y02(2x0x1)(2x0x2)

2x1x282x0212x02[42x0(x1x2)x0x1x2]21[48x022

3x0482x0222x02223x04x0(82x0)3x04222]

2x083x043x040所以AOB为定值900. 二.斜率定值（倾斜角定值）

x2y23例2. 已知椭圆C：221(ab0)的离心率为，且过点A(2,1)．若P，Q是椭2ab圆C上的两个动点，且使∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．

解：方法一：因为椭圆C的离心率为3，且过点A(2,1)，

214a2b212x2y23ca81

所以，解得2

所以椭圆C的方程为822b2aa2b2c2因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在的直线关于直线x＝2对称．

设直线PA的斜率为k，则直线AQ的斜率为－k. 所以直线PA的方程为y－1＝k(x－2)，直线AQ的方程为y－1＝－k(x－2)．

y1k(x2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2)，由x2

y2128得（14k2)x2(16k28k)x16k216k40①

因为点A(2,1)在椭圆C上，所以x＝2是方程①的一个根，

16k216k48k28k2则2x1，所以x1

2214k14k8k28k2同理x2

214k16k16k24,x1x2所以x1x2

2214k14k又y1y2k(x1x24)所以直线PQ的斜率kPQ8k，

214ky1y21，

x1x221. 2所以直线PQ的斜率为定值，该值为方法二

设直线PQ的方程为y＝kx＋b，点P(x1,y1),Q(x2,y2)

则y1kx1b,y2kx2b，所以kPAy11y1，

,kQA2x12x22因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在的直线关于直线x＝2对称，

所以kPAkQA，即y11y21

x12x22

化简得x1y2x2y1(x1x2)2(y1y2)40

所以2kx1x2(b12k)(x1x2)4b40①

ykxb由x2得（14k2)x28kbx4b280②

y21288kb4b28,x1x2则x1x2，

2214k14k2k(4b28)8kb(b12k)4b40

代入①，得2214k14k（2k1)(b2k1)0所以k整理得1或b12k

2若b12k，可得方程①的一个根为2，不符合题意．

所以直线PQ的斜率为定值，该值为1. 2变式：过抛物线y22px（p＞0）上一定点P(x0,y0)(y0＞0），作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1)，B(x2,y2)，求证：PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，直线AB的斜率为非零常数．

证明：因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补

所以kPAkPB

2y12px1由2相减得，(y1y0)(y1y0)2p(x1x0)

y02px0故KPAy1y02p

(x1x0)

x1x0y1y0y2y02p

(x2x0)

x2x0y2y0

同理可得，KPB所以

2p2p

y1y0y2y0所以

y1y22y0

2y12px1由2相减得，(y2y1)(y2y1)2p(x2x1)

y22px2∴

KABy2y12p2pp

x2x1y1y22y0y0p．

y0121，2∴直线AB的斜率为非零常数三.线段长度定值

0）例3.如图，在平面直角坐标系xoy中，点F（，，直线l:x点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQPF,PQl.

(1)求动点Q的轨迹C的方程；

，0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动(2)设圆M过A(1时，弦长|TS|是否为定值？请说明理由．

解

(1)依题意知，点R是线段FP的中点，且RQPF，

∴RQ是线段FP的垂直平分线．

∵点Q在线段FP的垂直平分线上，∴|PQ|＝|QF|，

又|PQ|是点Q到直线l的距离，

故动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y2x(x0)．

(2)弦长|TS|为定值．理由如下：

取曲线C上点M（x0,y0)，M到y轴的距离为d|x0|x0，

圆的半径r|MA|则|TS|2rd222(x01)2y0，

2y02x01，

222y因为点M在曲线C上，所以x00，

2所以|TS|2y02x012，是定值．

20)为定点，若动圆M过点变式1：已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，P(2，P，且圆心M在抛物线C上运动。点A,B是圆M与y轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线C，使|AB|为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，说明理由。

解：设圆心M(a,b)(a0)，点A(0,y1),B(0,y2). 因为圆M过点P（2,0），可设圆M的方程为：(xa)2(yb)2(a2)2b2

令x0，得y22by4a40

所以y1y22b,y1y24a4

所以|AB|(y1y2)2(y1y2)24y1y24b216a16

设抛物线方程为：y2mx(m0)

因为圆心M在抛物线C上，则bma

所以|AB|24ma16a164a(m4)16

由此可得，当m4时，|AB|4为定值. 故存在一条抛物线y24x，使|AB|为定值4. x2'变式2：在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆y21的左、右焦点分别为F与F，圆F：4(x3)2y25．若P为椭圆上任意一点，以P为圆心，OP为半径的圆P与圆F的公共弦为QT，证明：点F到直线QT的距离FH为定值．

解：（1）F'(3,0),F(3,0),设M(m,n),由MF'MF1,得

y(m3)(m3)n21即m2n24.①

又(m3)2n25.②

333333333,n.

M(,)或M(,-).

由①，②得m333333F

'QOHPTFx（2）设点P(x0,y0)，则圆P的方程为(xx0)2(yy0)2x02y02.

即x2y22x0x2y0y0.③ 又圆F的方程为(x3)2y25.④

由③，④得直线QT的方程为(x03)xy0y10.

所以FH

3(x03)1(x03)y022

3x04x0y023x0322.

x02x0222y01,即y01.

因为P(x0,y0)在椭圆上，所以44所以FH3x04x02(1x0)23x03423x043x023x0442(3x043x02)222.

四.面积定值

x2y2例4.设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆221(ab0)上的两点，已知向量abm(x1y1xy3,),n(2,2)，,若mn0且椭圆的离心率e短轴长为2，O为坐标baba2原点. 试问：AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由. 解：AOB的面积为定值,证明如下：

2b2a2c3证明：由题意知e解得b1 a2222c3abcy2x21

所以椭圆的方程为4y（1）当直线AB斜率不存在时，即x1x2,y1y2,由mn0得x110

422y22,|y1|2

又1x11；所以|x1|4211|x1||y1y2||x1|2|y1|1

22所以三角形AOB的面积为定值

所以SAOB（2）当直线AB斜率存在时：设AB的方程为ykxb

2ykxb222由y2得（k4)x2kbxb40

2x142kbb24,x1x22所以x1x22

k4k4

由mn0得x1x2y1y20

4即

x1x2（kx1b)(kx2b)0代入整理得：2b2k24

41|b|1|b|4k24b2162|AB||b|(x1x2)4x1x2

21k22k24所以SAOB4b2 2|b|

1所以三角形AOB的面积为定值1.