3.2.2 直线的两点式方程PPT配套优秀教学设计内容

第三章

直线与方程

第3.2.2节

直线的两点式方程

【本节教材分析】

（一）三维目标

1．知识与技能（1）掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围；（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。2．过程与方法让学生在应用旧知识的探究过程中获得新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点.3．情态与价值观（1）认识事物之间的普通联系与相互转化；（2）培养学生用联系的观点看问题。

（二）教学重点

直线方程两点式和截距式.

（三）教学难点

关于两点式的推导以及斜率k不存在或斜率k0时对两点式方程的讨论及变形.

（四）教学建议

[来源学科网ZXXK]

本节课的关键是关于两点式的推导以及斜率k不存在或斜率k0时对两点式的讨论及变形.直线方程的两点式可由点斜式导出.若已知两点恰好在坐标轴上(非原点)，则可用两点式的特例截距式写出直线的方程.由于由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便.在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式.但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零.在这两种情况下都不能用截距式.

【教学过程】

提出问题

①已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2)，求通过这两点的直线方程. ②若点P1(x1,y1),P2(x2,y2)中有x1=x2或y1=y2，此时这两点的直线方程是什么？

③两点式公式运用时应注意什么？

④已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0,b)，其中a≠0,b≠0，求直线l的方程. ⑤a、b表示截距是不是直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？

⑥截距式不能表示平面坐标系下哪些直线？

活动:①教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程.师生共同归纳：

已知直线上两个不同点，求直线的方程步骤：

a.利用直线的斜率公式求出斜率k; b.利用点斜式写出直线的方程. ∵x1≠x2,k=y2y1, x2x1y2y1(x-x1). x2x1∴直线的方程为y-y1=∴l的方程为y-y1=y2y1(x-x1).①

x2x1yy1xx1.②

y2y1x2x1当y1≠y2时,方程①可以写成由于②这个方程是由直线上两点确定的，因此叫做直线方程的两点式. 注意：②式是由①式导出的，它们表示的直线范围不同.①式中只需x1≠x2，它不能表示倾斜角为90°的直线的方程；②式中x1≠x2且y1≠y2，它不能表示倾斜角为0°或90°的直线的方程，但②式相对于①式更对称、形式更美观、更整齐，便于记忆.如果把两点式变成(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)，那么就可以用它来求过平面上任意两已知点的直线方程. ②使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式.教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当x1=x2时，直线与x轴垂直，所以直线方程为x=x1；当y1=y2时，直线与y轴垂直，直线方程为y=y1.

③引导学生注意分式的分母需满足的条件. ④使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形.教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线l的方程？哪种方法更为简捷？然后求出直线方程. 因为直线l经过(a，0)和(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得就是y0xa.①b00a[来源学科网ZXXK]

xy=1.②

ab注意：②这个方程形式对称、美观,其中a是直线与x轴交点的横坐标，称a为直线在x轴上的截距，简称横截距；b是直线与y轴交点的纵坐标，称b为直线在y轴上的截距，简称纵截距. 因为方程②是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，所以方程②式叫做直线方程的截距式. ⑤注意到截距的定义，易知a、b表示的截距分别是直线与坐标轴x轴交点的横坐标，与y轴交点的纵坐标，而不是距离. ⑥考虑到分母的原因，截距式不能表示平面坐标系下在x轴上或y轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式. 讨论结果：①若x1≠x2且y1≠y2,则直线l方程为yy1xx1. y2y1x2x1②当x1=x2时，直线与x轴垂直，直线方程为x=x1；当y1=y2时，直线与y轴垂直，直线方程为y=y1. ③倾斜角是0°或90°的直线不能用两点式公式表示(因为x1≠x2,y1≠y2).④[来源学科网]

xy=1. ab⑤a、b表示的截距分别是直线与坐标轴x轴交点的横坐标，与y轴交点的纵坐标，而不是距离. ⑥截距式不能表示平面坐标系下在x轴上或y轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式. 例题讲解

例1

求出下列直线的截距式方程：

（1)横截距是3，纵截距是5；

（2)横截距是10，纵截距是-7；

（3)横截距是-4，纵截距是-8. 解析：（1）5x+3y-15=0；（2)7x-10y-70=0；（3）3x+4y+12=0. 变式训练

已知Rt△ABC的两直角边AC=3，BC=4，直角顶点C在原点，直角边AC在x轴负方向上，

BC在y轴正方向上，求斜边AB所在的直线方程. 答案：4x-3y+12=0. 例2

如图1,已知三角形的顶点是A(－5，0)、B(3，－3)、C(0，2)，求这个三角形三边所在直线的方程.

图1 分析:根据A、B、C三点坐标的特征，求AB所在的直线的方程应选用两点式；求BC所在的直线的方程应选用斜截式；求AC所在的直线的方程应选用截距式.

解：AB所在直线的方程，由两点式,得

y0x(5),即3x+8y+15=0. 303(5)5x+2,即5x+3y-6=0. 3xy=1,即2x-5y+10=0. AC所在直线的方程，由截距式,得52BC所在直线的方程，由斜截式,得y=-变式训练

如图2,已知正方形的边长是4，它的中心在原点，对角线在坐标轴上，求正方形各边及对称轴所在直线的方程.

图2 分析:由于正方形的顶点在坐标轴上，所以可用截距式求正方形各边所在直线的方程.而正方形的对称轴PQ，MN，x轴，y轴则不能用截距式，其中PQ，MN应选用斜截式；x轴，y轴的方程可以直接写出.

解:因为|AB|=4，所以|OA|=|OB|=4222. 因此A、B、C、D的坐标分别为(22,0)、(0,22)、(-22,0)、(0,-22). 所以AB所在直线的方程是x22yy22=1,即x+y-22=0. BC所在直线的方程是x22x22x22227=1,即x-y+22=0. CD所在直线的方程是227=1,即x+y+22=0. DA所在直线的方程是22=1,即x-y-22=0. 对称轴方程分别为x±y=0,x=0,y=0. 例3：已知三角形的三个顶点A（－5,0），B（3，－3），C（0,2）求BC所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。

解：将B，C两点代入两点式，得y(3)x3

2(3)03整理，得：5x＋3y－6＝0，这就是直线BC的方程。

x1x2x2设BC的中点为M（x，y），由中点坐标公式，得

yy2y12

303231,)，即M（,）

2222y0x5中线AM所在的直线方程为：，整理，得：x＋13y＋5＝0 130522M（点评：其中考察了线段中点坐标公式，非常的常用，引起重视。

例4 已知△ABC的顶点是A(－1，－1)，B(3,1)，C(1,6)．直线l平行于AB，且分别交AC，BC于E，F，且△CEF的面积是△ABC的面积的. (1)求点E，F的坐标．

(2)求直线l的方程．

14

思路分析：根据直线的几何位置关系及面积的比值确定出点E，F的位置，然后利用中点坐标公式求点E，F的坐标，利用两点式求直线l的方程．

1解：(1)设点E(x1，y1)，F(x2，y2)，因为直线EF∥AB，并且△CEF的面积是△CAB的面积的，所以4E，F分别为AC，BC

的中点，由中点坐标公式可得：x1＝y2＝－1＋1－1＋653＋1＝0，y1＝＝，x2＝＝2，22221＋675757＝，所以E(0，)，F(2，)．(2)因为点E(0，)，F(2，)，由两点式方程，可得直线l22222252x－0的方程为＝，即x－2y＋5＝0. 752－0－22y－温馨提示：利用数形结合的思想，通过几何图形判断点所在的位置，以数研究形，以形研究数，是解析几何常用的数学思想方法． 变式练习 过点P(3,0)作直线l，使它被两条相交直线2x－y－2＝0和x＋y＋3＝0所截得的线段AB恰好被P点平分，求直线l的方程．

解：设直线l与直线2x－y－2＝0交于点A(x1，y1)．

∵点P(3,0)是线段AB的中点，由中点坐标公式得B点的坐标为(6－x1，－y1)，

2x1－y1－2＝0，∴(6－x1)＋(－y1)＋3＝0，

11x＝，3解得16y＝3.11

由两点式直线方程得直线l的方程为1611x－33＝，即8x－y－24＝0. 16110－3－33y－

课堂小结

通过本节学习，要求大家：掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程，并能运用这两种形式求出直线的方程.理解数形结合的数学思想，为今后的学习打下良好的基础.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围，树立辩证统一的观点，形成严谨的科学态度和求简的数学精神. 作业

课本习题3.2

A组9、10.

当堂检测

1、如果AC<0，且BC<0，那么直线AxByC0不通过

（

）

A.

第一象限

B.

第二象限

C. 第三象限

D.

第四象限

2、经过点A（1，2）并且在坐标轴上截距的绝对值相等的直线共有（

）

A.

4条

B.

3条

C.

2条

D.1条

3、下列命题中正确的是( ) A.

经过点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0=k(x－x0)表示

B.

经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y=kx＋b表示．

C.

经过任意两个不同点P1(x1，y1)，

P2(x2，y2)的直线都可用方程(x2－x1)(y－y1)=(y2－y1)(x－x1)表示．

D.

不经过原点的直线都可以用方程xy＋=1表示．

ab4..已知直线l过点P(5,10)，且原点到它的距离为5,则直线l的方程为___________. 5.直线x-2y+b=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于１，那么b的取值范围是_________. 6.经过点P(0,-1)作直线l，若直线l与连接A(1,-2)，B(2,1)的线段没有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为___________. 7.

求与两坐标轴正向围成面积为2平方单位的三角形，并且两截距之差为3的直线的方程.

8.

经过点A(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程.

参考答案

1.答案：C 2.答案：B 3.答案：C 4.答案：.x=5或3x-4y+25=0

5.答案：［-2,0)∪(0,2］

6.答案：(-∞,-1)∪(1,+∞)

7.

解：设直线方程为xy1=1,则由题意知,有ab=3,∴ab=4. ab2解得a=4,b=1或a=1,b=4. 则直线方程是

8.

解：当截距为0时，设y=kx，又过点A(1,2)，则得k=2，即y=2x. 当截距不为0时，设xyxy=1或=1,即x+4y-4=0或4x+y-4=0. 4114xyxy=1或=1,过点A(1,2)，

aaaa[来源学科网ZXXK]则得a=3，或a=-1，即x+y-3=0或x-y+1=0.

这样的直线有3条：2x-y=0，x+y-3=0或x-y+1=0.