3.1.2 导数的概念名师教学设计2

类

比

探

索

形

成

概

念

类

比

探

索

形

成

概

念

②类比迁移

形成概念

引导学生利用求瞬时速用具体到抽【思考】考虑求一般函数y=f(x) 在度的方法和思想类比探象，特殊到一点

到 + 之间的平均变化率的极限问究，猜想得出函数在般的思维方题，也就是怎样计算函数在点

处的变点

处的变化率

式，利用瞬时化率？

= ,并对猜想的合理性速度进行类 进行分析后，引出

比迁移，自然 定义1：（函数在一点引出函数在 处可导及其导数）

一点处可导 和导数的概 念. 引出导数定义后，回归问题情景，反由具体到抽思概念的“原型”解释“切线的斜率”、象再回到具“物体的瞬时速度”的本质. 体的过程，感 知上升到了理性，强化了对概念的理解. ③剖析概念 加深理解

引导学生以【探讨1】

怎样判断函数在一点是否组织学生阅读“导数”定数学语言（文可导？

义，抓住定义中的关键字语言、符号 词“可导”与“导数”交流语言

、图形判断函数

在点

处是否可导 探讨，然后通过师生互语言）的理转化

动挖掘这些概念之间的解、把握、运判断极限 是否存在

深层含义. 用为切入点【探讨2】导数是什么？

去揭示概念 的内涵与外延，提高学生描述角度

本

质

文字语言

瞬时变化率

分析导数的本质后，同数学阅读和时简单提及导数产生的自主学习的符号语言

能力. 图形语言

（切线斜率）

时代背景. 让学生感受数学文化的熏陶，了解导数的文化价值、科学价值和应用价值. 教学环

内 容

节

【探讨3】求导数的方法是什么？

师生活动

让学生类比瞬时速度的问设计意图

用定义法求导数是

类

比

探

索

形

成

概

念

引

申

拓

展

发

展

概

念

题，根据导数定义归纳出求本课的重点之一.有 函数

在点

处导数的方法步了可导这个逻辑基 骤：

础，导数成为可导的 （1）求函数的增量；

自然结果，求导数的 （2）求平均变化率； 方法则是对导数概 （3）取极限，得导数. 念的理解与应用.让 学生积极主动参与， 进行有意义的建构， 有利于重点知识的 掌握. 【例1】求函数y=x2在点

处的导数. 学生动手解答，老师强调符本题是教材上的一 号语言的规范使用，对诸如道例题.在学生建立 忘写括号的现象加以纠正. 起导数概念，明确用 定义求导数的方法 之后,进行强化训练, 渗透算法思想，加深 对导数概念的理解， 强化对重点知识的巩固. 利用例1继续设问，函数在

处可导，师生互动，共同探讨归纳函通过层层展开的探那么

，

，

这些点也可导吗？从而引数在开区间

的每一点可导，讨，激活学生知识思申拓展出定义2：（函数在开区间

内每一点就有确定的唯一的导维的“最近发展区”，可导）

数.这样在开区间

内构成一引导学生主动将新【探讨1】函数在开区间内可导，那个特殊的映射，这里的映射问题与原认知结构么对于每一个确定的值,都有唯一确是数集到数集的映射，就是中函数的相关知识定的导数值与之相对应，这样在开区函数，我们把这个新函数叫相联系，自然引入导间内存在一个映射吗？

做

在开区间

内的导函数。函数概念，从而完成 它的定义域是

从函数在一点可【探讨2】存在的这个映射是否构成导

函数在开区间内一个新的函数呢？若能，新函数的定可导

函数在开区间义域和对应法则分别是什么呢？

内的导函数的两次 拓展. 教学环

内 容

师生活动

设计意图

节

引

开区间

，对应法则是对开区间内每一点求本例共两个小

申

【探讨3】怎样求新函数的解导.运用函数思想，只要把求一点处的导问，第(1)小问是

拓

析式？

数

替换成

，就可以求出导函数的解析式. 教材上的一道

展

分学习小组让学生动脑思考，动手“操作”，例题, 第(2)小

发

相互交流。书面总结出两小问的区别与联问是补充题.两

展

系，选出代表作品用投影仪全班交流.完善问都是求导数，

概

探讨后引出定义3：（函数在后，屏幕显示形成共识：

但它们有本质

念

开区间

内的导函数）

【区别】（1）函数

在点

处的导数，是在上的区别！学生

【例2】已知y= ，求（1）y′;点

处的变化率，是一个常数；

容易产生混淆.（2）y′|x=2.

（2）函数

的导数是对开区间内任意点而通过此题让学 言，是

在开区间内任意点

的变化率，是生辨清“函数

在一个函数. 一点处的导数”、【联系】一般而言，

在

处的导数就是导“函数

在开区间函数

在 = 处的函数值，表示为

，这也是内的导数”与“导求

的一种方法. 数”三者的关系. 内 容

设计意图

练习：

设计练习1，巩固求导方法；

设1．已知y=x3－2x+1，求y′，y′|x=2.

计练习2，通过适当的变式训2．设函数f(x)在x0处可导，则

等于

练，揭示概念的内涵，提高学A. f′(x0) B.0 C.2 f′(x0) D.－2 f′(x0)

生的模式识别的能力，培养学3．

已知一个物体运动的位移S（m）与时间t（s）满足生思维的深刻性和灵活性；设关系S（t）＝-2t2+5t 计练习3，体验实际应用，展（1）求物体第5秒和第6秒的瞬时速度；

示概念的外延，让学生认识到（2）求物体在t时刻的瞬时速度；

数学来源于生活并应用于生（3）求物体t时刻运动的加速度，并判断物体作什么运活.通过练习，反馈学生对知识动？

技能的掌握情况，以便及时调 节教学，更好的达成教学目标. 引导学生从知识、方法、思想①知识层面

： 和应用四个层面进行小结，理②方法层面：用定义求导数的三个步骤

清知识结构，提炼数学方法和③思想层面：极限思想、函数思想、类比思想、转化思领悟数学思想，培养应用意识. 想

④应用层面：举出生活中与导数有关的实例（涉及变化率问题的问题可以考虑用导数解决）. 必做题：1.教材

习题3.1 1、2、3、4、5 2. 已知f(3)=2，

则

的值为（ ）

弹性的分层作业，照顾到各种（A）0 （B）－4 （C）8 （D）不存在

层次的学生.补充的必做3，为3.已知曲线C是函数

的图象

下节课研究导数的几何意义打（1）求点A(1,3)处的切线的斜率

下伏笔.可导与连续的关系，设（2）求函数在x=1处的导数

计成选作题，既不影响主体知选做题：

1.有条件的同学上网查阅有关微积分产生的时识建构,又能使学有余力的学代背景和历史意义的资料并交流讨论. 生得到进一步的发展.利用网2.函数 =|x|在x=0处是否可导？

络，便于学生开展自主学习，3.函数y=f(x)在x=x0处可导是它在x=x0处连续的

拓展学***台. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条 D.既不充分也不必要条件

教学

环节

练

习

反

馈

巩

固

概

念

小

结

整

理

形

成

系

统

分

层

作

业

深

化

概

念

二、板书设计（板书附后）

【设计意图】本课使用了电脑投影屏幕，黑板上的板书保留勾勒本课知识发展的主要线索，呈现完整的知识结构体系，用彩色粉笔突出重点，强化学生对新信息的纳入，同时对新学的符号语言的规范使用进行示范.

板书设计：

辨析：

f ′(x0) 与 f ′(x)

课堂小结

函数在开区间内的导函数

导数

定义1 定义2 定义3 函数在点x可导及导数

函数在开区间内可导

例1．。。。。。。。

电子屏幕

例2.。。。。。。。。。。

课堂练习

导数的概念（第三课时）

布置作业