小结公开课教案

教学设计

本章复习

整体设计

教学分析

本节课是对第三章的基本知识和方法的总结与归纳，从整体上来把握本章，使学生基本知识系统化和网络化，基本方法条理化．本章内容大致分为三个部分：(1)直线的倾斜角和斜率；(2)直线方程；(3)两条直线的位置关系．可采用分单元小结的方式，让学生自己回顾和小结各单元知识．在此基础上，教师可对一些关键处予以强调．比如可重申解析几何的基本思想——坐标法，并用解析几何的基本思想串联全章知识，使全章知识网络更加清晰．指出本章学习要求和要注意的问题，可让学生先阅读教科书中“学习要求和要注意的问题”有关内容．教师重申坐标法、函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及分类与讨论思想等数学思想方法在本章中的特殊地位．

三维目标

通过总结和归纳直线与方程的知识，对全章知识内容进行一次梳理，突出知识间的内在联系，进一步提高学生综合运用知识解决问题的能力．能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力．

重点难点

教学重点：①直线的倾斜角和斜率．

②直线的方程和两直线的位置关系的应用．

③激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力．

教学难点：①数形结合和分类讨论思想的渗透和理解．

②处理直线综合问题的策略．

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.我们知道学习是一个循序渐进的过程，更是一个不断积累的过程．送给大家这样一句话：疏浚源头流活水，承上基础梳理已整合；千寻飞瀑悬彩练，启下重点突破须提升．每学完一个单元都要总结复习，这节课我们就来复习刚结束的本章．引出课题．

思路2.为了系统掌握第三章的知识，教师直接点出课题．

推进新课

新知探究

提出问题

①第一节是直线的倾斜角和斜率棳需

要注意什么? ②第二节是直线的方程,有几种形式? 各自的适用范围怎样? ③第三节是两直线的位置关系,分为哪些内容? 如何判断? ④画出本章的知识结构图. 活动：让学生自己回顾所学知识或结合教材，重新对知识整合，对没有思路的学生，教师可以提示按教材的章节标题来分类．对于画知识结构图，可让学生合作交流，待学生有了不同画法后，先对比分析，再画本章的知识结构图．

讨论结果：①直线的倾斜角(α)和斜率(k)：倾斜角范围：0°≤α<180°，斜率：k∈R. 不存在，α＝90°，k与α的关系：k＝

y2－y1tanα＝，α∈[0°，90°∪90°，180°.x2－x1注意倾斜角为90°的直线的斜率不存在(分类讨论)．

②直线方程的五种形式及适用范围：

(a)斜截式：y＝kx＋b，不含与x轴垂直的直线．

(b)点斜式：y－y0＝k(x－x0)，不含与x轴垂直的直线．

y－y1x－x1(c)两点式：＝，不含与x轴、y轴垂直的直线．

y2－y1x2－x1xy(d)截距式：＋＝1，不含过原点和与x轴、y轴垂直的直线．

ab(e)一般式：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，无限制(可表示任何直线)．

注：两点式的“改良”(x－x1)(y2－y1)－(y－y1)(x2－x1)＝0，可表示任何直线．

③分为：两条直线的位置关系及点到直线的距离和两条平行线间的距离．判定两条直线的位置关系(三种：相交、平行、重合)．

设l1：y＝k1x＋b1，A1x＋B1y＋C1＝0；l2：y＝k2x＋b2，A2x＋B2y＋C2＝0. (a)l1∩l2＝P⇔k1≠k2或仅有一个不存在⇔A1B2－A2B1≠0；

l1⊥l2⇔k1k2＝－1或一个为零一个不存在⇔A1A2＋B1B2＝0. (b)l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2或k1，k2均不存在⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0. (c)l1与l2重合⇔k1＝k2且b1＝b2或k1，k2均不存在⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1＝0. ④第三章的知识结构图如图1所示．

从几何直观到代数表示(建立直线的方程)

从代数表示到几何直观(通过方程研究几何性质和度量)

图1 应用示例

思路1 1求满足下列条件的直线方程：

(1)经过点P(2，－1)且与直线2x＋3y＋12＝0平行；

(2)经过点Q(－1,3)且与直线x＋2y－1＝0垂直；

(3)经过点R(－2,3)且在两坐标轴上截距相等；

(4)经过点M(1,2)且与点A(2,3)、B(4，－5)距离相等；

(5)经过点N(－1,3)且在x轴的截距与它在y轴上的截距的和为零．

解：(1)2x＋3y－1＝0.(2)2x－y＋5＝0. (3)x＋y－1＝0或3x＋2y＝0.(4)4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0. (5)3x＋y＝0或x－y＋4＝0. 变式训练

求经过点P(2,3)且被两条平行直线3x＋4y－7＝0和3x＋4y＋8＝0截得线段长为32的直线方程．

解：因为已知两条平行直线间的距离d＝|－7－8|＝3，

32＋42所以所求直线与直线3x＋4y－7＝0的夹角为45°.设所求直线的斜率3|k－－|4为k，则tan45°＝. 3|1＋－k|41解得k＝或k＝－7. 7因此x－7y＋19＝0或7x＋y－17＝0为所求. 2已知直线l与直线3x＋4y－7＝0平行，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，

求直线l的方程．

mm解：设l：3x＋4y＋m＝0，则当y＝0时，x＝－；当x＝0时，y＝－. 34∵直线l与两坐标轴围成的三角形面积为24，

1mm∴·|－|·|－|＝24.∴m＝±24. 234∴直线l的方程为3x＋4y±24＝0. 变式训练

设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y－2m＋6＝0，根据下列条件求m的值．

(1)直线l的斜率为1；(2)直线l经过定点P(－1，－1)．

解：(1)由题意得－(m2－2m－3)＝2m2＋m－1，

4即3m2－m－4＝0，解之，得m＝－1(舍去)或m＝. 3(2)由题意得

(m2－2m－3)×(－1)＋(2m2＋m－1)×(－1)－2m＋6＝0，

5即3m2＋m－10＝0，解之，得m＝－2或m＝. 3知能训练

1．如果直线x＋2ay－1＝0与直线(3a－1)x－ay－1＝0平行，则a等于(

) 11A．0

B.

C．0或1

D．0或

662．直线l1：mx＋(m－1)y＋5＝0与l2：(m＋2)x＋my－1＝0互相垂直，则m的值是________．

1答案：1.D

2.m＝0或m＝－

2拓展提升

问题：过点M(1,2)作l1交x正半轴于A，作l2交y正半轴于B，若l1⊥l2，且AB恰平分四边形OAMB的面积，求直线AB的方程．

1解：设l1：y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，l2：y－2＝－(x－1)，即x＋ky－2k－1k21＝0.则A(1－，0)，B(0,2＋)．

kk则|OA|·|OB|＝|MA|·|MB|，

21∴|1－|·|2＋|＝kk212＋4·1＋2. kk

34解得k＝或k＝－. 4351055则A(－，0)，B(0，)或A(，0)，B(0，)．

3324xyxy∴AB方程为＋＝1或＋＝1，

51055－3324即6x－3y＋10＝0或2x＋4y－10＝0. 课堂小结

本节课总结了第三章的基本知识并形成知识网络，归纳了常见的解题方法，渗透了几种重要的数学思想方法．

作业

课本本章复习参考题A组8、9、10. 设计感想

本节在设计过程中，注重了两点：一是体现学生的主体地位，注重引导学生思考，让学生学会学习；二是既有基础知识的复习、基本题型的联系，又为了满足高考的要求，对教材内容适当拓展．本节课对此进行了归纳和总结．

备课资料

备用习题

1．已知两直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0都通过点P(2,3)，求经过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直线方程．

解：依题意得2a1＋3b1＋1＝0，这说明Q1(a1，b1)在直线2x＋3y＋1＝0上，同理，Q2(a2，b2)也在直线2x＋3y＋1＝0上．

因为两点确定一直线，所以经过两点Q1(a1，b1)、Q2(a2，b2)的直线方程为2x＋3y＋1＝0. 2．从点A(－4,1)出发的一束光线l，经过直线l1：x－y＋3＝0反射，反射光线恰好通过点B(1,6)，求入射光线l所在的直线方程．

解：设B(1,6)关于直线l1的对称点为B′(x0，y0)，

则y－61＝－1，x－1·00x0＋1y0＋6－＋3＝0，22

x0＝3，解得

y＝4.0

y－1x＋4∴直线AB′的方程为＝，即3x－7y＋19＝0. 4－13＋4故直线l的方程为3x－7y＋19＝0. 3．已知直线l：2x－y＋1＝0和点A(－1,2)、B(0,3)，试在l上找一点P，使得|PA|＋|PB|的值最小，并求出这个最小值．

1解：过点B(0,3)且与直线l垂直的直线方程为l′：y－3＝－x，

2由1y＝－x＋3，22x－y＋1＝0，

得13y＝5，4x＝，5

413即直线l与直线l′相交于点Q(，)．

55413811点B(0,3)关于点Q(，)的对称点为B′(，)，

5555连接AB′，则依平面几何知识，知AB′与直线l的交点P即为所求．

2x－y＋1＝0，直线AB′的方程为y－2＝1x＝25，13(x＋1)，由y＝113x＋27得13，

14y＝5325，

相应的最小值为|AB′|＝－1－852＋2－1117052＝5.

即P(145325，25)，