探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积教案和课堂实录

祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积

祖暅：另类的“官二代”

一、说教材

1、教材的内容、地位及编排依据

［内容、地位］

本节是必修2第一章的“探究与发现”内容，是在学生已经初步学习了柱体、锥体、球体的体积公式的基础之上对体积公式的由来的进一步探究，主要内容为用祖暅原理推导柱体、锥体、球体的体积公式；通过模型演示，利用祖暅原理，推广到柱、锥、球体的体积计算.通过学习，使学生感受几何体体积的求解过程，初步了解解决空间几何体问题的思想方法,逐步提高解决空间几何体问题的能力。

［编排依据］

主要是从学生获取知识遵循“从特殊到一般，由浅入深，由易到难，循序渐进”的原则出发，符合学生的认知水平和接受能力. 2、教学目标的确定

（1）理解祖暅原理的含义，理解利用祖暅原理计算几何体体积的方法；

（2）在发现祖暅原理的过程中，体会从“平面”到“空间”的类比、猜想、论证的数学思想方法；体会祖暅原理中由“面积都相等”推出“体积相等”的辩证法的思想；

（3）在推导棱柱体积公式的过程中，理解从特殊到一般，从一般到特殊的归纳演绎的数学思想方法是学习数学概念的基本方法；掌握棱柱、棱锥、球体的体积公式；

（4）通过介绍我国古代数学家对几何体体积研究的成果，激发学生的民族自豪感，提高学生学习数学的兴趣. 3、教学的重点、难点

（1）柱体、锥体、球体的体积公式的探究

（2）学生探究能力的培养

二、说教法与学法

教法：

1、为了培养学生自主学习的能力以及使得不同层次的学生都能获得相应的满足.因此本节课采用探究性教学.

2、根据本节课的特点也为了给学生的数学探究与数学思维提供支持. 学法：为了发挥学生的主观能动性，提高学生的综合能力，确定了探究性学习法：通过分析、探索得出柱体、锥体、球体的体积公式；

四、说教学过程

1、教学思路

由祖暅原理推导柱、锥以及球的体积．其结构图如下：

根

据

体积概念

祖暅原理

转

化

长方体的体积

柱的体积

三棱

柱

锥为

分解为

代表

锥

化为柱

锥之差

球的体积

锥的体积

2、案例设计

Ⅰ导入课题

回顾已经学习的柱体、锥体、球体的体积公式，并发问：这些公式怎么来的? （设计意图：让学生产生疑问，带着疑问主动的探究柱体、锥体、球体的体积公式的由来）

Ⅱ探究新知

1、祖暅原理的引入

通过小实验引入祖暅原理，让学生直观感知祖暅原理的正确性，为接下来的应用祖暅原理推导公式提供理论基础

2．探究柱体的体积公式

柱体（棱柱，圆柱）的体积公式：

VSh S---底面积 h-----高

（设计意图：利用祖暅原理把求一般柱体体积转化为求特殊棱柱——长方体的体积，从而推导一般柱体的体积）

3、探究锥体的体积公式

①等底等高的棱锥与圆锥体积相同

②如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥？

3 1 2 1 2 3

锥体的体积V1Sh， S---底面积 h-----高

34、探究球体的体积

V半球V圆柱V圆锥

11V球R2RR2R

232

R3

34所以球的体积

V球R3

3点评：利用祖暅原理求几何体的体积，关键是找出一个满足条件的能够求出体积的几何体

Ⅲ课堂小结：

1．学生小结：

2．老师小结：

本节课的主要内容为祖暅原理及利用原理探究柱体、锥体、球体的体积公式

如题，我是这样想的，既然“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”，

如果这样，设圆锥底面半径为r，高位h，那么底面为边长2r的正方形，高位h的四棱锥体积就是圆锥的4/pi倍，圆柱和四棱柱也是如此，这样就可以证明圆柱的体积是圆锥的3倍了。。。。。。

我国齐梁时代的数学家祖暅（公元前5﹣6世纪，祖冲之之子）提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”，这个原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体，

如图，将底面直径都为2b，高皆为a的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上，用平行于平面β且与平面β任意距离d处的平面截这两个几何体，可横截得到S圆及S环两截面，可以证明S圆=S环总成立．据此，短轴长为，长轴为5的椭球体的体积是

10π

．

【解答】：∵S圆=S环总成立，

∴半椭球的体积为：∴椭球的体积V=，

∵椭球体短轴长为，长轴为5，

∴b=，a=，

∴该椭球体的体积V=故答案为：10π．

祖冲之父子。

=10π．，

=

魏德勇（作家）

祖暅：祖暅又称祖暅之，是祖冲之之子，字景烁,中国数学家、天文学家。在梁朝担任过员外散骑侍郎、太府卿、南康太守、材官将军、奉朝请等职务。青年时代已对天文学和数学造诣很《缀术》在唐代被收入《算经十书》。

深，是祖冲之科学事业的继承人。他的主要贡献是修补编辑祖冲之的《缀术》，因此可以说《缀术》是他们父子共同完成的数学杰作。

“官二代”出身

约公元502年夏季的一天，在中岳嵩山（今河南登封县北）

山巅，一位满脸沧桑却精神饱满的中年人正在仔细做一个实验。他先立了一根8尺长的铜棍（学民国版《术数》。

名铜表），棍的底部有一个带槽的石圭，圭里放满水（主要是测水平的作用）。每隔半个时辰，他就用规尺测量铜棍的影子，并详细记录下来。夜晚来临，他守在铜棍边，观测天上北极星的位置，每当有重大发现时，他会欣喜若狂，偶尔也会像当时的名士一样，来个仰天长啸。中年人就这样默默地守在这个简陋的天文观测站边，不论寒暑，不分昼夜。两年后，他终于用翔实的数据证明：北极星并不在地球的北极上空，而是与北极相差“一度有余”。

这位中年人的名字叫祖暅（gèng），又名祖暅之，今河北涞县人，南北朝时期杰出的数学家。大家对他或许不太熟悉，但一定都知道他的父亲——大科学家祖冲之。

祖暅是个名副其实的“官二代”。他出身书香门第兼官宦世家。曾祖父祖昌是南朝刘宋王朝的大匠卿（相当于国家建工部长）；祖父祖朔之学富五车，退休后还被“返

聘”为皇帝的“奉朝请”；父亲祖冲之任县令、校尉等职30多年，科学研究集大成于一身，还创作了不少小说。出生在这样的家庭，祖暅会选择怎样的人生之路？和众多躺在祖辈功劳簿上混日子甚至胡作非为的官宦子弟不同，祖暅走的是一条另类的“官二代”之路。

醉心研究数学

青年时代起，祖暅就开始当父亲的助手：父亲编《大明历》，他帮助观测；父亲推算圆周率，他在一旁摆算筹；父亲研制指南车，他准备材料……某日，祖暅在宫门外边走边思考问题，由于入了神，竟一头撞在当朝仆射（yè)许勉身上。许勉差点摔倒，祖暅却浑然不觉，只顾朝前走。

父亲逝世后，作为孝子的祖暅强忍悲痛，重新实测《大明历》，并多次向朝廷建言实施。蒙受48年压制之后，一直让祖冲之挂怀的《大明历》终于得以重见天日。《大明历》是南北朝的一部重要历法，该法首次引入“岁差”的概念，从而使得历法更加精确，堪称中国历法史上的第二次大改革。公元462年编成《大明历》后，祖冲之兴奋地上表给宋孝武帝刘骏，不料却遭到宠臣戴法兴之流的压制和反对，一直未能实施。祖暅此举，是对父亲在天之灵的最好告慰。

数学方面，祖暅与父亲相比毫不逊色，他最突出的成就是发明了“祖暅定理”。这个定理用白话解释是：两个高相等的立体，如果在任意等高处截面的面积相等，它们的体积也相等。这个在今天看来颇为简单的道理，1000多年前得来并不容易：三国时期的刘徽、其父祖冲之等人都进行过类似的研究，但最终没有进展。祖暅出奇制胜，不断创新，终于找到这种最简捷的方法。“祖暅定理”一直在世界数学史上遥遥领先，直到1000多年后，意大利数学家毕华列利才得出类似结论。

两度入狱

人生路坎坷

科学成就辉煌，但祖暅的人生却颇为坎坷。生活在战争频发年代的祖暅虽然想摒除世事杂念，全心扑在科研上，但结果并不如意。公元514年，梁武帝为对抗北魏军队的进攻，决定在淮河上修筑一个拦河大坝——浮山堰，以期淹没并收回被北魏占领的寿阳城（今安徽省寿县）。祖暅被任命为工程负责人后，觉得兹事体大，便认真进行实地考察。考察后，他感觉问题严重，便向武帝建言：“淮河沙土稀松，建筑容易，

但如浮山堰遇大水倒塌，后果将不堪设想！”

梁武帝求胜心切，不但不听忠言，还从徐、扬二州征调20万民夫筑堰。祖暅含泪领命。两年后，位于安徽省五河、嘉山及江苏省泗洪三县交界的淮河浮山堰修筑起来了，寿阳城也很快被淹没。4个月后，天降大雨，洪水泛滥，这座堪称当时世界上最高的土石坝工程便化为乌有。最后，暴洪夺走了淮河沿线10多万村民的生命。祖暅成了替罪羊，锒铛入狱。

10年后，祖暅出狱，投奔豫章郡王萧综（梁武帝之子），希望找棵大树依靠，安心进行科学研究，但事不遂人愿。公元525年，萧综投降北魏，祖暅再度沦为阶下囚。十数年的狱中生活，几乎摧毁了这位伟大的数学家。

二次出狱后的他重新拾起笔，发愤著书，先后写有目录学方面的著作《术数》，度量衡方面的著作《权衡记》，还有一本研究文物的专著《欹（qī）器漏刻铭》。

值得一提的是，祖暅除了有一位伟大的父亲，还有一个文武全才的儿子祖皓。祖皓字志节，少年时和同学信都芳、毛栖成一起得父亲真传，尤其精通天文和数学。他任广陵郡（今江苏省都县、宝应县一带）太守时，深受百姓爱戴。公元550年，在著名的侯景之乱中，祖皓带兵死守广陵。城破之日，叛军把祖皓捆在木桩上，射成刺猬，然后处以“车裂”之刑。一同被害的还有祖皓兄弟子侄共16人，只有个别人化装改名才得以逃脱。中国历史上，一个为祖国科技事业发展做出重大贡献的科学世家，就这样成了战争的牺牲品。

14．若直线l：x+2y=0与圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=10相切，且圆心C在直线l的上方，则ab的最大值为

．

【考点】JE：直线和圆的方程的应用．

【分析】根据直线和圆相切求出a，b的关系式，结合基本不等式进行求解即可．

【解答】解：圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=10的圆心（a，b）半径为：∵直线和圆相切，

∴，

，

∵圆心C在直线l的上方，

∴a+2b＞0，从而a+2b=5∴ab=b=a（2b）≤时取等号，

，

，

=，当且仅当a=2b，即a=，故ab的最大值为