3.1.3 空间向量的数量积运算教学设计案例

3.1.3空间向量的数量积运算教学设计

教学目标：

知识与技能目标：

知识：1.掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；

2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题. 技能：将立体几何问题转化为向量的计算问题

过程与方法目标：

1.培养类比等探索性思维，提高学生的创新能力. 2.培养学生把空间立体几何问题转化为向量的计算问题的思想. 情感与态度目标：

1. 获得成功的体验,激发学生学习数学的热情； 2. 学习向量在空间立体几何中的应用,

感受到数学的无穷魅力.

教学重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用. 教学难点：将立体几何问题转化为向量的计算问题. 教辅工具：多媒体课件

教学程序设计：

程序

教师活动

学生活动

设计意图

一、几个概念1）两个非零向量的夹角的定义aOA类比对于思aB平面考题,主向量要是让夹角学生理的定解夹角义,的概念,

Cb如图，已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O，作OAa,OBb,则角AOB叫做向量a与b的夹角，记作：a,bb规定:0a,b类比学习

如果a,b这样，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且a,b＝b,aA2,则称a与b互相垂直，并记作：ab______度思考：正三角形ABC中，AB,BC120B

理解空间向量的夹角. 2）两个向量的数量积已知空间两个非零向量a,b，则abcosa,b叫做向量a,b的数量积，记作：ab,即类比理解空平面间向量向量数量积数量的定义积的和几何定意义.特ababcosa,b类比平面向量，说说ab的几何意义。几何意义：

a与b的数量积ab等于

a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosa,b的乘积.  类比学习

BBBAOO2）两个向量的数量积bcosa,bB1B1AOa,b的数量积，AB已知空间两个非零向量a,b，则abcosa,b1叫做向量bcosa,bbcosa,b大于记作：ab,0即等于ab0abcosa,b小于0义.别要理学生解投影集体的概念. 回答

出空

间向

几个重要结论：①两个向量的数量积是数量，而不是向量.0a0②规定：③非零向量abab0④aa2⑤cosa,babab

量的

3)空间向量的数量积满足的运算律数量

1)(a)b(ab)2)abba(交换律）积定

义及

几何

意义

等.

对于几个重要的结论,主要是让学生理解几个重要的结论,特别是长度和夹角的计算公式.

3）a(bc)abac(分配律）

21.已知a22,b,ab22二、课堂练习对于对于练练习习1，21、2 和3 ,主和3,要是让学生学生熟

A135.则a,b所夹的角为________(2.对于空间中任意向量a,b和c，请判断下列说法的对错：1）若ab0,则a0,b02)(ab)ca(bc)3)若abac，则bck4)若abk，则b二、课堂练习a分别是AB、AD的中点。×)(×)(×)(×)独立悉向量完成数量积后,公式,理FD3.如图：已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E、F

例题与练习

分析

计算：（1）EFBA(2)EFBD(3)EFDC(4)EFAC1412140EBC同桌解数量间交积的概流.

念。

1EFACDB(DCDA)211DBDCDBDA221111cos6011cos60022三、例题与练习：利用空间向量数量积求异面直线所成的角（或余弦值）例1.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BC1与AC所成60的角的大小等于___________.方法一：几何法D1A1B1C1CAD1的大小就等于直线BC1与AC所

C成的角的大小方法二：向量法ADB

例1.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BC与的角的大小等于___________.D1A1B1所成C1方法二：向量法BC1AC(BCCC1)(ABBC)BCABBCCC1ABCC1BC2

C

01001DAB

又BC12,AC2BC1ACBC1AC12cosBC1,ACBC1,AC60三、例题与练习：例2已知在平行六面体已知在平行六面体ABCDABCD中，中，,例2AB4,,,AD3,AA5,BAD90,BAADAA60求对角线AC的长。的长。求对角线D'C'

解：ACABADAA|AC|2(ABADAA)2|AB|2|AD|2|AA|22(ABADABAAADAA)A'B'D学生

独立

完成例题1后，的目的交是让学CAB4232522(0107.5)85|AC|85三、例题与练习：例3，已知m,n是平面内两条相交直线，直线lm，且ln，求证：l平面lp证明：在内任取一条直线p,在l,m,n,p上取非零向量l,m,n,p，

因m与n相交，得向量m,n不平行，由共面向量定理可知，

存在唯一的有序实数对(x,y)，使

pxmyn

流，生理解点用向量m又因为lm,ln,所以lm0,ln0

n所以, lp

所以,lpxlmyln0

评。

的方法这就证明了直线l垂直于平面内的任一条直线，所以l

求异面直线所成的角。

学生

独立例题2完成的目的后，是让学交生理解流，用向量点的方法评。

求线段

的长度。

学生

独立例题3完成的目的后，是让学交生理解流，用向量点的方法评。

证明垂

三、例题与练习：练习1.如图所示，在空间四边形OABC中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，∠OAC=45°，∠OAB=60°，OA与BC夹角的余弦值等于322__________.5直问题。

学生巩固用动手向量的自行方法求解决异面直问线所成解：BCACAB,OABCOAACOAABOAACcosOA，ACOAABcosOA,AB84cos13586cos12024162.cosOA，BCOABCOABC24162322.855题，的角。

讲解

练习

巩固

练2:如图，已知线段AB在平面在平面内，线段内，线段AC练2:如图，已知线段，线段BDAB，线段，线段DD，，，如DBD30，如，线段果ABa,ACBDb，求，求C、、之间的距离。果D之间的距离。解：由AC，可知ACAB.CDbbaD'由DBD30知CA,BD120.|CD|2CDCD(CAABBD)2|CA|2|AB|2|BD|22CAAB2CABD2ABBDbab2bcos120a2b22222ABCDab22

练***面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

巩固用向量的方法求线段的长度。

巩固用向量的方法证明垂直已知：PO,PA分别是平面的垂线，斜线，OA是PA在内的射影，a,且aOA求证：aPA证明：在a上取非零向量a而PO,POaPOa0又OAa,OAa0POAaP又PO,OA相交，得PO,OA不平行，由共面向量oAl定理可知，存在唯一的有序实数对x,y,使PAxPOyOAPAaPOaOAa0aPA,即aPA.

问题。

小结

四、小结：1.夹角：baOA师生

Bab共同完成。

2.数量积：ababcosa,b3.数量积的几个重要结论：①两个向量的数量积是数量，而不是向量.0a0②规定：2③非零向量abab0④aaab4.运算律1)(a)b(ab)2)abba(交换律）3）a(bc)abac(分配律）⑤cosa,bab5.数量积的应用：求夹角，长度，证明垂直

作业

教材习题3.1A组：第3题，第5题.