探究与发现 为什么y=±b／a x是双曲线x2／a2 －y2／b2 =1的渐近线教学设计内容推荐

双曲线定义及其标准方程

鹤华中学

高三

尚红芝

一、教学目标：

以“知识为载体、注重学生的能力、良好的意志品质及合作学习的精神培养”是本教学设计中要贯穿始终的一个重要教学理念。为此本课的目标设定如下：

1.理解双曲线的概念及其标准方程。

2.通过多媒体课件演示、数形结合，从运动变化观点来认识、掌握双曲线及其方程，增强学生分析问题，解决问题的能力。

3.对学生进行辩证唯物主义思想的教育，使学生学会认识事物的运动规律。培养学生善于探索的思维品质。

二、教学重难点和关键：

双曲线的定义、及其标准方程是本节课的重点。

对双曲线定义的理解及标准方程的建立则是本节课的难点。

本节课的关键是能正确运用双曲线的定义建立方程。

三、教学方法分析：

（一）教学基本思路：

由于“双曲线及其标准方程”与“椭圆及其标准方程”从教材地位、作用以及内容极其相似，在建立双曲线及其标准方程概念之前，先复习回顾椭圆的定义、标准方程，再提出问题引入概念。由于轨迹问题通过板画无法达到意想的效果，又是本节课的教学关键。在教学中，借助于课件演示轨迹

，讨论轨迹，引导学生说出轨迹

的定义、轨迹的变化情况（即参数关系）从而引出双曲线定义，提高学生分类讨论、数形结合的能力。

（二）教法选择：

教学方法

：直观教学法、启发发现法、类比教学法、电化教学法

理论根据：为了调动学生学习的积极性，使学生变被动学习为主动愉快的学习。教学中引导学生从复习回顾“椭圆及其标准方程”通过类比引出双曲线的定义，在概念的理解上，用步步设问、来加深理解。在概念的建立上

，借助电脑，演示轨迹变化的动画过程，从而使学生直接地接受并提高学生的学习兴趣和积极性，很好地突破难点和提高教学效率，从而增大教学的容量和直观性、准确性。充分体现了“教师为主导，学生为主体”的教学原则。

（三）学法指导：

在教学中，注意面向全体学生，发挥学生的主体性，引导学生积极地观察问题，分析问题，激发学生的求知欲和学习积极性，指导学生积极思维、主动获取知识，养成良好的学习方法。调动学生的非智力因素来促进智力

因素

的发展，引导学生积极开动脑筋，思考问题和解决问题。

四、教学过程与设计

（一）出示学习目标

1、了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程．

2、掌握双曲线的标准方程．

3、会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．

4、双曲线介于椭圆与抛物线之间，承上启下；可以结合实例，观察分析，培养“应用数学意识”，进一步巩固数形结合思想．

（二）自主学习

自学内容（一）课本45页——46页第一行

1.（类比椭圆）在双曲线的定义中，||PF1||PF2||2a(常数）,则有限制条件02a|F1F2|，F1,F2分别为左右焦点；那么如果

（1）2a|F1F2|，动点P的轨迹是

（2）2a|F1F2|，动点P的轨迹是

（3）2a|F1F2|，动点P的轨迹是

2.双曲线的定义是什么？定义式是什么？为什么要加“绝对值”三个字呢？焦点、焦距各指什么？

【自学检测】

1.（对应目标1）已知F1(5,0),F2(5,0),||PF1||PF2||m，若P点的轨迹为双曲线，则m应满足的条件为

（设计说明：问题提出后再演示双曲线轨迹，其目的是为加深对定义的理解。由于椭圆与双曲线中，参数a与c的大小关系对轨迹的影响，在学生的印象中比较淡薄，往往容易出错，再次展示a与c的大小关系对轨迹的影响，使学生加深对轨迹的认识。）

自学内容（二）课本46页——47页例1 【自学指导】

3.（对应目标2）推导双曲线的标准方程的四步：

（1）建系

如何选取坐标轴？

（2）设点

（3）列式

根据哪个几何关系式列式？

（4）化简

最后整理的关系式是什么？a,b有没有大小关系？c2

4.（对应目标3）焦点在x轴的双曲线的标准方程是

，焦点坐标为

；焦点在y轴上的双曲线方程是

，焦点坐标为

。

如何判断焦点在x轴还是y轴上？

【自学检测】

2、定义概念的考查，判断下列双曲线方程焦点的位置

（1）x24y231（2）

x23y241（3）y23x241

（4）x24y231

3、

已知F1(-5，0)，F2（5，0），动点P到

F1、F2的距离之差的绝对值为6，求点P的轨迹方程.

（设计说明：自学完以后检测学生对基础题的掌握，看学生的自学情况）

（三）合作探究

【探究一】化简方程总结：求双曲线的标准方程的方法?需要注意什么?

【探究二】已知双曲线

另一个焦点的距离为

. 上一点P到双曲线的一个焦点的距离为9，则它到

【变式】若把距离9改成3，则现在有几解

（设计说明：知识进一步提升，考察学生对双曲线标准方程的理解）

（四）课堂小结

1、双曲线及其焦点，焦距的定义，双曲线的标准方程以及方程中的a，b，c之间的关系

2、怎样的双曲线其方程是标准方程；

标准方程表示的双曲线的特征

3、焦点位置的确定方法

4、求双曲线标准方程关键（定位，定量）

（五）自查反馈表

自查反馈表（掌握情况可用A、好

B较好

C一般

）

学习目标达成情况

学习目标

目标1 目标2 目标3 目标4 达成情况

习题掌握情况

习题题号

自学检测1、2 自学检测3 探究一

探究二

掌握情况

（设计说明：让学生回顾本节课的内容交流完成课堂小结，加深对本节课的掌

握）

（六）当堂检测

A组

1..已知双曲线的两个焦点F1(0,5),F2(0,5),双曲线上一点P到两焦点的距离的差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程。

x2y21表示双曲线，则k的范围？

2.

方程2kk1B组

3.双曲线8kx2ky28的一个焦点为（0，3），求k的值

（设计说明：设置配套检测题，考察学生对本节课最基本知识的掌握）

【课后探究】

1、下列方程表示何种曲线？

（1）方程|(x5)2y2(x5)2y2|6

（2）方程(x5)2y2(x5)2y26

（3）方程|(x4)2y2(x4)2y2|8

x2y21，a

，b

，2.（对应目标3）双曲线焦点坐标

，3焦距

3. （对应目标4）根据下列条件求双曲线的标准方程

(1)已知a3,b4

(2）已知F1(5,0),F2(5,0),双曲线上一点P到两焦点的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。

（3）一个焦点为F(3,0),经过点P(4,1)

（设计说明：课后延伸，加深学生对双曲线定义的理解）

五、本节课的教学感想

本节课使用计算机多媒体技术，展现知识的发生过程，激情引趣，充分体现“教师为主导，学生为主体”的观念，增加课堂教学的容量及准确性直观性，注重数学科学研究方法的掌握，是研究性教学的一次有益尝试。有利于改变学生的学习方式，有利于学生自主探究，有利于学生的实践能力和创新意识的培养。