4.3.2 空间两点间的距离公式课程导入及其完整教案

空间两点间的距离公式习题

一、选择题

1．设点B是点A(2，－3,5)关于xOy坐标平面的对称点，则|AB|等于(

) A．10

C.38

[答案]

A [解析]

A(2，－3,5)关于xOy坐标面的对称点B(2，－3，－5) ∴|AB|＝(2－2)2＋[－3－(－3)]2＋[5－(－5)]2＝10. 2．已知三点A(－1,0,1)，B(2,4,3)，C(5,8,5)，则(

) A．三点构成等腰三角形

B．三点构成直角三角形

C．三点构成等腰直角三角形

D．三点构不成三角形

[答案]

D [解析]

∵|AB|＝29，|AC|＝229，|BC|＝29，而|AB|＋|BC|＝|AC|，∴三点A、B、C共线，构不成三角形．

3．已知A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在z轴上且到A、B两点的距离相等，则M点坐标为(

) A．(－3,0,0)

B．(0，－3,0) B.10

D．38 C．(0,0，－3)

D．(0,0,3) [答案]

C [解析]

设M(0,0，C)，由|AM|＝|BM|得：

12＋02＋(C－2)2＝12＋(－3)2＋(C－1)2，

∴C＝－3，选C. 4．已知正方体的每条棱都平行于坐标轴，两个顶点为A(－6，－6，－6)，B(8,8,8)，且两点不在正方体的同一个面上，正方体的对角线长为(

) A．143

C．542

[答案]

A [解析]

d(A，B)＝(－6－8)2＋(－6－8)2＋(－6－8)2

＝143. 5．(2010·曲师大附中高一期末检测)以A(4,1,9)，B(10，－1,6)，C(2,4,3)为顶点的三角形是(

) B．314 D．425

A．等腰三角形

B．直角三角形

C．等边三角形

D．等腰直角三角形

[答案]

D [解析]

|AB|＝(10－4)2＋(－1－1)2＋(6－9)2＝7，|BC|＝(2－10)2＋[4－(－1)]2＋(3－6)2＝72，|AC|＝(2－4)2＋(4－1)2＋(3－9)2＝7，

∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2，

∴△ABC为等腰直角三角形．

6．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为(

) A．9

C．5

[答案]

B [解析]

如图所示，由题设条件可知：|AA1|＝3，|AB|＝2，

B.29

D．26

∴C1(0,2,3)，∴|AC1|＝29. 7．点M(2，－3,5)到x轴的距离d等于(

) A.38

C.13

[答案]

B [解析]

点M在x轴上射影N的坐标是(2,0,0)，∴d＝(2－2)2＋(－3)2＋52＝34. 8．设A(3,3,1)、B(1,0,5)、C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|＝(

) A.C.53

453

253B.

2D.13

2B.34

D.29 [答案]

C 32，，3，C(0,1,0)，

[解析]

∵AB的中点M2∴|CM|＝二、填空题

9．若点A(－1,2，－3)关于y轴的对称点为B，则AB的长为________．

3253－1＋(3－0)2＝(2－0)2＋. 22

[答案]

210 [解析]

∵A(－1,2，－3)关于y轴的对称点B(1,2,3)，

∴|AB|＝[1－(－1)]2＋(2－2)2＋[3－(－3)]2＝210. 10．(2010·锦州市高一期末检测)在空间中，已知点A(－2，3,4)在y轴上有一点B使得|AB|＝7，则点B的坐标为________．

[答案]

(0,3＋29，0)或(0,3－29，0) [解析]

设点B的坐标为(0，b,0)，

由题意得(0＋2)2＋(b－3)2＋(0－4)2＝7，解得b＝3±29. ∴点B的坐标为(0,3＋29，0)或(0,3－29，0) 11．在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A(3，－1,2)，其中心M的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长等于________．

[答案]

239

3[解析]

∵|AM|＝(3－0)2＋(－1－1)2＋(2－2)2

＝13，

∴对角线|AC1|＝213，

239设棱长为x，则3x2＝(213)2，∴x＝. 312．点P在坐标平面xOy内，A点的坐标为(0,0,4)，且|PA|＝5，满足条件的P点组成的曲线是________．

[答案]

以O为圆心，半径为3的圆

[解析]

如右图：∵AO⊥平面xOy，

∴AO⊥OP，

又|AO|＝4，|AP|＝5，∴|OP|＝3. 三、解答题

13．已知点P1、P2的坐标分别为(3,1，－1)、(2，－2，－3)，分别在x、y、z轴上取点A、B、C，使它们与P1、P2两点距离相等，求A、B、C的坐标．

[解析]

设A(x,0,0)，B(0，y,0)，c(0,0，z)，由|AP1|＝|AP2|得，(x－3)2＋1＋1＝(x－2)2＋4＋9 ∴x＝－3，

3同理，由|BP1|＝|BP2|得y＝－1，由|CP1|＝|CP2|得z＝－，∴A(－3,0,0)，B(0，－1,0)，23C(0,0，－)．

214．(1)在z轴上求与点A(－4,1,7)和B(3,5，－2)等距离的点的坐标．

(2)在yOz平面上，求与点A(3,1,2)、B(4，－2，－2)和C(0,5,1)等距离的点的坐标．

[解析]

(1)设所求点P为(0,0，c)由题设|PA|＝|PB|，

∴16＋1＋(c－7)2＝9＋25＋(c＋2)2解之得

1414c＝，∴P(0,0，)．

99(2)设所求点为P(0，b，c)∵|PA|＝|PB|＝|PC|，

9＋(b－1)2＋(c－2)2＝16＋(b＋2)2＋(c＋2)2∴

22229＋(b－1)＋(c－2)＝0＋(b－5)＋(c－1)3b＋4c＋5＝0b＝1∴∴∴P(0,1，－2)．

4b－c－6＝0c＝－2

15．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，

点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C中点，求M、N两点间的距离．

[解析]

建立如图所示空间直角坐标系，据题设条件有：

|A1C1|＝22，

∵|MC1|＝2|A1M|，

∴|A1M|＝22，

322∴M(，，4)．

33又C(2,2,0)，D1(0,2,4)，N为CD1中点∴N(1,2,2)，∴|MN|＝＝53. 316．若点G到△ABC三个顶点的距离的平方和最小，则点G就为△ABC的重心．已知△ABC三个顶点的坐标分虽为A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(－1,3，－3)，求△ABC的重心G的坐标．

[解析]

设重心G的坐标为(x，y，z)，则|GA|2＋|GB|2＋|GC|2＝(x－3)2＋(y－3)2＋(z－1)222(1－)2＋(2－)2＋(2－4)233

＋(x－1)2＋y2＋(z－5)2＋(x＋1)2＋(y－3)2＋(z＋3)2

＝3x2－6x＋3y2－12y＋3z2－6z＋64 ＝3(x－1)2＋3(y－2)2＋3(z－1)2＋46，

当x＝1，y＝2，z＝1时，

|GA|2＋|GB|2＋|GC|2取最小值46，∴重心G的坐标为(1,2,1)