3.1.2 导数的概念优质教案设计

利用导数解决不等式恒成立问题 --单参数放在不等式上型

晋宁二中 黄娅娥

【教学目标】

1、理解和掌握导数在处理不等式恒成立问题是高考的难点；

2、能应用导数的方法来研究函数中的不等式恒成立问题，来培养学生应用数学分析问题，解决实际函数的能力；

3、培养学生学习的积极性和主动性，发现问题、善于解决问题、探究知识、合作交流的意识，体验数学中的美，激发学习兴趣，从而培养学生勤于动脑和动手的良好品质。

【教学重点】

导数计算，导数单调性和最值，不等式恒成立

【教学难点】

如何构造函数求最值来解决不等式恒成立

【教学过程】

不等式恒成立问题常用的解题方法：

分离参数法：①分离变量；②构造函数（非变量放一边，我们习惯参数在左，构造出的新函数放右边）；③对所构造的函数求最值（一般需要求导数）: (1)若af(x),则求f(x)min.a的取值范围是af(x)min;（2）若afx,则求f(x)max..

a的取值范围是af(x)max.1例1、

设函数f(x)x2ex。

2（1）求函数f(x)的极值；

（2）若当x[2,2]时，不等式mf(x)恒成立，求实数m的取值范围。

解：（1）函数f(x)的定义域是R. 1x2e(x2x)2

令f(x)0,则x0或x2

f(x)

列表，得(,2)

f(x)

f(x)

2





0 极大值

2e2

(-2,0) 

0 0 极小值0 (0,)

+ 

由表可知：f(x)的极大值为2e2，极小值0。

(2)由（1）知：f(x)mino

所以m的取值范围是:m<0。

练习1、（10全国1理）已知f(x)(x1)lnxx1，若xf(x)x2ax1，求a的取值范围．

解:函数f(x)定义域为：(0,)

x11lnx1lnx，xf(x)xlnx1．

xx由题设xf(x)x2ax1等价于alnxx．

f(x)令g(x)lnxx，则g(x)x11．

令g(x)0,则x1

列表，得

(1,)

x (0,1) 1 g(x)

+ 0 _ g(x) 

极大值g(1)=-1 

由表可知：g(x)maxg(1)1∴a的取值范围是[1,)

例2、已知f(x)x3axb(a,bR)在x2处取得极小值-。

（1）求f(x)的单调区间；

（2）若m2m10f(x)在-4，3上恒成立，求实数m的取值范围。

31343解：函数f(x)的定义域为R

f(x)x2a

4f(x)在x=2处取得极小值为

34f(2)3

f(2)0解得a=-4,

b=4 f(x)13x4x4,f(x)x243

令f(x)0,则x2列表，得

(,2)

x -2 (-2,2) 2 f(x)

+ 0 - 0 f(x)





由表可得，f(x)的单调递增区间是：(,2),(2,)

单调递减区间是：（-2,2）

(2,)

+ 

(2)由（1）及f(4),f(2)f(x)在-4,3上的最大值为f(x)max43284,f(2),f(3)1,得

3328

310f(x)在-4，3上恒成立310只需m2mf(x)max

31028即m2m33m2或m3要使m2m

【备用练习】

练习2、

１

已知（a1）x1lnx0对任意x，２恒成立，求实数ａ的最大值。２lnx11解：原不等式a1对x(,2)恒成立

x2lnx1lnx,则g(x)2

令g(x)xx令g(x)0,则x1

列表，得

x 1

21(,1)

21 (1,2) 2

1(ln21)

2g(x)

g(x)

2(1-ln2) + 

0 - 极大值

f(1)=1 由表可知：gxmin22ln2

a122ln2即a12ln2

【课堂小结】

利用导数解决不等式恒成立问题 --------单参数放在不等式上型：

分离参数法：①分离变量；②构造函数（非变量放一边，我们习惯参数在左，构造出的新函数放右边）；③对所构造的函数求最值：

(1)若af(x),则求f(x)min.a的取值范围是af(x)min;（2）若afx,则求f(x)max.a的取值范围是af(x)max.

【作业】

1、优化p42【逆向问题】

已知不等式aexbx(xR)

（1）若当aaexbx,xR=1时，不等式恒成立，求b的最大值；

（2）若当b=1时，不等式恒成立，求a的取值范围。

2、优化P22例3 设函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2时取得极值．

（1）求a、b的值；

（2）若对于任意的x[0,3]，都有f(x)c2成立，求c的取值范围．