1.4.2 存在量词多媒体教学设计及其点评

1.4 全称量词与存在量词

1.4.1 全称量词

1.4.2 存在量词

1.4.3 含有一个量词的命题的否定

1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称命题和特称命题的意义.(重点) 2.掌握全称命题与特称命题真假性的判定.(重点) 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.(难点)

[基础·初探] 教材整理1

全称量词与全称命题

阅读教材P21“思考”以下部分，完成下列问题. 1.短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做______，并用符号“________”表示. 【答案】

全称量词

∀

2.含有________的命题叫做全称命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为________. 【答案】

全称量词

∀x∈M，p(x)

给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②正方形是菱形；③任意实数x，|x|＞0；④对于任意实数x,2x＋1是奇数.下列说法正确的是(

) A.四个命题都是真命题

1

B.有三个真命题

C.有两个真命题

D.有一个真命题

【答案】

C 教材整理2

存在量词与特称命题

阅读教材P22“思考”以下部分～P23例2以上部分，完成下列问题. 1.短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做________，并用符号“________”表示. 【答案】

存在量词

∃

2.含有____________的命题，叫做特称命题，特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符号简记为“________________”.

【答案】

存在量词

∃x0∈M，p(x0)

判断下列特称命题的真假：

(1)有一个实数x0，使x20＋2x0＋3＝0；

(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线；

(3)有些整数只有两个正因数. 【解】

(1)由于∀x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝02的实数x不存在.所以特称命题“有一个实数x0，使x0＋2x0＋3＝0”是假命题.

(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线.所以特称命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题.

(3)由于存在整数3只有两个正因数1和3，所以特称命题“有些整数只有两个正因数”是真命题. 教材整理3

含有一个量词的命题的否定

阅读教材P24“探究”以下部分～P25例4以上部分，完成下列问题. 一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：

全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：________；

特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定﹁p：

______________________________________________________________. 2

全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题. 【答案】

∃x0∈M，﹁p(x0)

∀x∈M，﹁p(x)

命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则“﹁p”形式的命题是(

) A.存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根

B.不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根

C.对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根

D.至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实根

【答案】

C

[小组合作型] 全称命题和特称命题的概念及真假判断

指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假. (1)∀x∈N,2x＋1是奇数；

(2)存在一个x0∈R，使1＝0；

x0－1(3)对任意向量a，|a|＞0；

(4)有一个角α，使sin α＞1.

【导学号：37792025】

【精彩点拨】

(1)上述各命题中分别含有什么量词？(2)如何判断它们的真假？

【自主解答】

(1)是全称命题，因为∀x∈N,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题.

1(2)是特称命题.因为不存在x0∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题.

x0－1(3)是全称命题.因为|0|＝0，∴|a|＞0不都成立，因此，该命题是假命题.

3

(4)是特称命题，因为∀α∈R，sin α∈[－1,1]，所以该命题是假命题.

1.判定一个命题是全称命题还是特称命题时，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词.当然有些全称命题中并不含全称量词，这时要根据命题所涉及的意义去判断. 2.全称命题与特称命题真假的判断方法

(1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”). (2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0使p(x0)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题.

[再练一题] 1.以下四个命题既是特称命题又是真命题的是(

) A.锐角三角形的内角是锐角或钝角

B.至少有一个实数x，使x2≤0 C.两个无理数的和必是无理数

1D.存在一个负数x，使x>2 【解析】

A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为3＋(－3)＝0，所以C是1假命题；D中对于任一个负数x，都有x<0，所以D是假命题.

【答案】

B 含有一个量词的命题的否定

写出下列命题的否定，并判断其真假. (1)p：不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；

(2)q: 存在一个实数x0，使得x20＋x0＋1≤0；

(3)r：等圆的面积相等，周长相等；

4

(4)s：对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1. 【精彩点拨】

(1)以上命题是全称命题还是特称命题？(2)怎样对这些命题进行否定？

【自主解答】

(1)这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定形式是﹁p：“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”.

1注意到当Δ＝1＋4m＜0时，即m＜－4时，一元二次方程没有实数根，所以﹁p是真命题.

(2)这一命题的否定形式是﹁q：“对所有的实数x，都有x2＋x＋1＞0”，利用配方法可以证得﹁q是真命题.

(3)这一命题的否定形式是﹁r：“存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等”，由平面几何知识知﹁r是假命题.

(4)这一命题的否定形式是﹁s：“存在α∈R，sin2α＋cos2α≠1”，由于命题s是真命题，所以﹁s是假命题.

对全称命题和特称命题进行否定的步骤与方法

1确定类型：是特称命题还是全称命题. 2改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；把存在量词换为恰当的全称量词. 3否定结论：原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.,注意：无量词的全称命题要先补回量词再否定.

[再练一题] 2.命题“存在实数x，使x>1”的否定是(

) A.对任意实数x，都有x>1 B.不存在实数x，使x≤1 C.对任意实数x，都有x≤1 D.存在实数x，使x≤1 5

【解析】

命题p“存在实数x，使x>1”是特称命题，则﹁p为全称命题：对任意实数x，都有x≤1.

【答案】

C [探究共研型] 全称命题与特称命题的应用

探究

已知关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围. 【提示】

不等式有解问题是特称命题，只须Δ≥0即可.

已知命题p：∀x∈R,9x－3x－a＝0，若命题﹁p是假命题，求实数a的取值范围.

【导学号：37792026】

【精彩点拨】

﹁p是假命题，即p是真命题，再求a.

【自主解答】

由于﹁p是假命题，所以p是真命题，

即对任意实数x,9x－3x－a＝0恒成立.

设3x＝t，由于x∈R，则t∈(0，＋∞)，

则9x－3x－a＝0⇔a＝(3x)2－3x⇔a＝t2－t，t∈(0，＋∞)，

设f(t)＝t2－t，t∈(0，＋∞)，

121则f(t)＝t－2－4，

11当t＝2时，f(t)min＝－4，

1则函数f(t)的值域是－4，＋∞，

1所以实数a的取值范围是－4，＋∞. 

应用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型

1全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以利用代入体现集合中相应元素的具体性质中求解；也可以根据函数等数学知识来解决. 6

2特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述.解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设.

[再练一题] 3.若将本例中命题p改为：∃x∈[0,1]，9x－3x－a＝0，若命题﹁p是假命题，求实数a的取值范围. 【解】

设3x＝t，x∈[0,1]，∴t∈[1,3].

a＝t2－t，t∈[1,3]，

121∵t－t＝t－2－4，

21∴t2－t∈－4，6.

1即a的取值范围是－4，6. 

1.下列命题中是全称命题，且为假命题的是(

) A.存在x0∈R，sin x0＋cos x0＝2 B.偶函数图象关于y轴对称

C.∃m∈R，x2＋mx＋1＝0无解

D.∀x∈N，x3＞x2

【解析】

A，C中命题是特称命题，故排除.B为省略量词的全称命题，且为真命题.D为全称命题.当x＝0或1时，x3＝x2，故D中命题是假命题.

【答案】

D 2.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是(

) A.所有不能被2整除的数都是偶数

B.所有能被2整除的数都不是偶数

C.存在一个不能被2整除的数是偶数

D.存在一个能被2整除的数不是偶数

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【解析】

全称命题的否定为相应的特称命题，即将“所有”变为“存在”，并且将结论进行否定.

【答案】

D 23.命题p：∃x0∈R，x0＋2x0＋5＜0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为﹁p：________. 2【解析】

命题p：∃x0∈R，x0＋2x0＋5＜0是特称命题.因为x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4＞0恒成立，所以命题p为假命题.

命题p的否定为：∀x∈R，x2＋2x＋5≥0.

【答案】

特称命题

假

∀x∈R，x2＋2x＋5≥0 4.已知命题p：ax2＋2x＋1＞0，若对∀x∈R，p是真命题，求实数a的取值范围.

【导学号：37792027】

【解】

由题意可得，∀x∈R，ax2＋2x＋1＞0恒成立.

(1)当a＝0时，ax2＋2x＋1＝2x＋1＞0，显然不恒成立，不合题意.

(2)当a≠0时，要使ax2＋2x＋1＞0恒成立，

a＞0，则

4－4a＜0，解得a＞1.

综上可知，所求实数a的取值范围是(1，＋∞).

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