一、圆锥曲线的光学性质及其应用教学设计(第一课时)

2.4.1《抛物线及其标准方程》教案

惠州市第一中学

方志平

【教学目标】

知识与技能：掌握抛物线定义，明确焦点和准线的意义；掌握抛物线标准方程。通过学习抛物线概念和标准方程，培养学生分析、抽象和概括等逻辑思维能力，提高适当建立坐标系的能力，提高数形间对照、翻译和转换能力。逐渐形成事物运动、变化、相互联系和转化的观点，学会用辩证唯物主义观点分析问题，认识问题，并逐步解决问题。

过程与方法：从生活中的数学引入，加深学生对抛物线概念的理解，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，标准方程的推导，公式的应用，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。

情感、态度与价值观：面向全体学生，创造良好平等的氛围，发挥学生的主体作用，调动学生的主动性和积极性，激发学生学习的兴趣。

【教学重点、难点】

教学重点：根据抛物线定义推导标准方程；

教学难点：四种形式的标准方程的由来和区分。

【教学过程】

（一）设置情景，引发探究

1、观察多媒体播放的图片，感受生活中的抛物线。

问题1：数学中的抛物线是什么呢？

（二）合作交流，导出方程

（1）回顾椭圆、双曲线的第二定义。

（2）抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线。这个定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线。

（3）问题2：若定直线l经过定点F，则动点M的轨迹是什么？

（4）探索抛物线的方程

分组探究，合作交流：先由学生思考，然后教师点拨，提出类比椭圆和双曲线在求标准方程时的建系方法，由学生提出相应建系方案，分组合作交流，最后展示结果。

问题3：已知定点到定直线的距离为，如何建立适当的坐标系，使抛物线的方程更简洁呢？

1

问题4：抛物线的标准方程还有哪几种标准形式

？它们的焦点和准线方程又如何表示？

让学生自主完成66页的表格，并展示结果．

图形

标准方程

焦点坐标

准线方程

y22px(p0)

p(,0)

2p(,0)

2px2

y22px(p0)

px2py2

x22py(p0)

p(0,)

2p(0,)

2

x22py(p0)

py

2（学生完成第二行，教师巡视个别辅导。类比椭圆第二种标准方程的推导完成第三和第四行。）

对表格的说明：统观四种情况（学生记忆）

问题5：

（1）p(p0)表示焦点F到准线l的距离；

（2）抛物线标准方程，左边为二次，右边为一次。若一次项是x，则对称轴为x轴，焦点在x轴上；若一次项是y，则对称轴为y轴，焦点在y轴上；（对称轴看一次项）

（3）标准方程中一次项前面的系数为正数，则开口方向坐标轴正方向；若一次项前面的系数为负数，则开口方向为坐标轴负方向；（符号决定开口方向）

(4) p的几何意义：__焦点到准线的距离。

（三）实例分析，深化理解

例1：⑴根据下列条件求抛物线的标准方程：

①已知抛物线的焦点坐标是F(2,0)；

②已知抛物线的准线方程是y=3；

解：焦点坐标在x正半轴上，

解：

焦点在y轴的负半轴上，

2

由pp2得p4

由3得p6

222所以抛物线的标准方程是：y8x

所以抛物线的标准方程为：x212y

⑵求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：

①

y26x

②

y6x2

31,0)

解：焦点坐标(0,)

224解：焦点坐标(准线方程x31-

准线方程y-

224例2：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口（直径）为4.8m，深度为0.5m。建立适当的直角坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。

解：设抛物线的标准方程是：y22px(p0)

由已知条件可得，点A的坐标是(0.5,2.4)

代入方程得，2.42p0.5

所以p5.76

2所以，抛物线的标准标准方程是y11.52x，焦点坐标是(2.88,0)

例3.求过点A(-3,2）的抛物线的标准方程。

解：当焦点在x轴的负半轴上时，

3

，2）把A(-3代入y22-2px(p0)得p

3当焦点在y轴的正半轴上时，

把A(-3,2)代入x292py(p0)

得p

42所以，抛物线的方程为：x94y或y2-x

23

反馈练习：

1.抛物线y16x的焦点坐标是（

D ）

(A)

(4,0)

(B)

(0,4)

(C) 2(11,1)

(D）(0,)

64642.平面上到定点A（1,1）和到定直线l:x2y3距离相等的点的轨迹为（

A ）

（A）直线

(B)

抛物线

（C）双曲线

（D）椭圆

3.抛物线yax的焦点坐标为(0,21)

4a4.求过2,1点的抛物线的标准方程。

（四）总结提高，明确要点

让学生回忆并小结、提炼本节课学习内容：

1、抛物线的定义

2、抛物线的标准方程有四种不同的形式

3、p的几何意义是: 焦点到准线的距离

4、标准方程中p前面的正负号决定抛物线的开口方向．

（五）课后思考与作业

4

1、课后思考题：

（1）点M到F(4，0)的距离比它到定直线l:x50的距离小3，则点M的轨迹方程为_

y212(x-1）（2）

一圆经过F（0,3）且和定直线y30相切，那么圆心的轨迹方程为x212y

2（3）

动点P到A（0,2）的距离比到直线y—4的距离小2，则动点P的轨迹方程为x

2、课后练习题: 课本73页，A组1，2，3，4

(六).板书设计

投影屏幕

§2.4.1 抛物线及其标准方程

一、抛物线的定义

二、抛物线的标准方程

例题及练习

8y

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