3.1.1 变化率问题教案设计（一等奖）

变化率问题

课前预习学案

一、

预习目标

了解平均变化率的定义。

二、预习内容

[问题1]

在吹气球问题中，当空气容量V从0增加到1L时，气球的平均膨胀率为__________

当空气容量V从1L增加到2L时，气球的平均膨胀率为__________________

当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率为_______________ [问题2]在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h(单位：m)h 与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度v粗略地描述其运动状态? 在0t0.5这段时间里，v=_________________ 在1t2这段时间里，v=_________________ 在t1tt2这段时间里，v=_________________ ot [问题3]对于公式，应注意：（1）平均变化率公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，分母是区间两端点间的_______的差。（2）平均变化率公式中,分子、分母中同为被减数的是右端点，减数是左端点，一定要同步。

ff(x2)f(x1)[问题4]

平均变化率表示什么? xx2x1f(x2)

A

△y =f(x2)-f(x1) f(x1) B

x1 △x= x2-x1

x2

三、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点

疑惑内容

课内探究学案

1

一、学习目标

知道平均变化率的定义。会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。

二、学习过程

学习探究

探究任务一：

问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率

吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?

问题2：高台跳水，求平均速度

f(x2)f(x1)f新知：平均变化率：

x2x1x

试试：设yf(x)，x1是数轴上的一个定点，在数轴x上另取一点x2，x1与x2的差记为x，即

x=

或者x2=

，x就表示从x1到x2的变化量或增量，相应地，y函数的变化量或增量记为y，即y=

；如果它们的比值，则上式就表示x为

，此比值就称为平均变化率.

反思：所谓平均变化率也就是

的增量与

的增量的比值.

典型例题

例1 过曲线yf(x)x3上两点P(1,1)和Q(1x,1y)作曲线的割线，求出当x0.1时割线的斜率.

2例2 已知函数f(x)x，分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率：

（1）[1，3]；

（2）[1，2]；

（3）[1，1.1]；

2

（4）[1，1.001]

有效训练

练1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.

W(kg) 11 8.6 6.5 3.5 3 6 9

练2. 已知函数f(x)2x1，g(x)2x，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上f(x)及g(x)的平均变化率.

反思总结

1.函数f(x)的平均变化率是

12 T(月) 2.求函数f(x)的平均变化率的步骤：

（1）求函数值的增量

（2）计算平均变化率

当堂检测

1. y2x1在(1,2)内的平均变化率为（

）

A．3

B．2

C．1

D．0 2. 设函数yf(x)，当自变量x由x0改变到x0x时，函数的改变量y为（

）

A．f(x0x)

B．f(x0)x

C．f(x0)x

D．f(x0x)f(x0)

3

3. 质点运动动规律st23，则在时间(3,3t)中，相应的平均速度为（

）

9A．6t

B．6t

tC．3t

D．9t

14.已知sgt2，从3s到3.1s的平均速度是_______ 25. yx22x3在x2附近的平均变化率是____ 6、已知函数yf(x)2x21的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+x，f(1x）），求y

x

课后练习与提高

1、

已知一次函数yf(x)在区间[-2，6]上的平均变化率为2，且函数图象过点（0，2），试求此一次函数的表达式。

2.

国家环保局对长期超标排污，污染严重而未进行治理的单位，规定出一定期限，强令在此期限内完成排污治理. 下图是国家环保局在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业连续检测的结果（W表示排污量），哪个企业治理得比较好？为什么？

2. 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s后容器

甲中水的体积V(t)52（单位：cm），

计算第一个10s内V的平均变化率.

0.1t3

4

3.1.1变化率问题

教学目标知道平均变化率的定义。

会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。

教学重点：平均变化率的含义

教学难点：会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。

教学过程：

情景导入：

展示目标:

知道平均变化率的定义。

会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。

检查预习:见学案

合作探究：

探究任务一：

问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率

吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象? 问题2;:在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度v粗略地描述其运动状态? 交流展示：学生交流探究结果,并完成学案。

精讲精练：

例1 过曲线yf(x)x3上两点P(1,1)和Q(1x,1y)作曲线的割线，求出当x0.1时割线的斜率.

例2 已知函数f(x)x2，分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率：

（1）[1，3]；

（2）[1，2]；

（3）[1，1.1]；

（4）[1，1.001] 有效训练

练1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.

W(kg) 11 8.6 6.5 3.5 3 6 9

练2.

已知函数f(x)2x1，g(x)2x，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上f(x)及g(x)的平均变化率.

反思总结

1.函数f(x)的平均变化率是

2.求函数f(x)的平均变化率的步骤：

5 12 T(月)

（1）求函数值的增量

（2）计算平均变化率

当堂检测

1. y2x1在(1,2)内的平均变化率为（

）

A．3

B．2

C．1

D．0 2. 设函数yf(x)，当自变量x由x0改变到x0x时，函数的改变量y为（

）

A．f(x0x)

B．f(x0)x

C．f(x0)x

D．f(x0x)f(x0)

3. 质点运动动规律st23，则在时间(3,3t)中，相应的平均速度为（

）

9A．6t

B．6t

tC．3t

D．9t

14.已知sgt2，从3s到3.1s的平均速度是_______

25. yx22x3在x2附近的平均变化率是____ 26、已知函数yf(x)2x1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+x，f(1x）），求y

x【板书设计】：略

【作业布置】：略

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