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圆锥曲线中的中点弦问题

2018.3.9

赖春环

中点弦问题是直线与圆锥曲线位置关系中的一种特殊情况，是常见的问题，在近几年高考中多次出现，是高考考查的一个重点. 要求学生会求中点弦所在直线的方程，会判断中点弦所在直线是否存在及其它一些综合问题. 一．求中点弦所在直线的方程

y21，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于例1.已知双曲线x22A,B两点，且点P是线段AB的中点？

解一（韦达定理）

解二（点差法）

比较两种解法的优缺点，探究点差法求出的中点弦不存在的原因.

思考：给定中点，如何判断中点弦所在直线是否存在?（即寻找圆锥曲线弦中点的位置）

(1)椭圆：弦中点在哪里？

(2)抛物线：弦中点在哪里？

(3)双曲线：弦中点在哪里？

1

探究：过点P(x0,y0)(y00)作一条直线与下列曲线交于A,B两点，且点P是线段AB的中点，分别求直线AB的斜率. x2y2x2y21ab0）②双曲线2-21③抛物线y22px(p0)，①椭圆22（

abab

二、几个重要的结论

x2y21ab0）结论1

设椭圆22（的弦AB的中点为P(x0,y0)(y00)，ab则直线AB的斜率为kABb2x02

.

ay0x2y2结论2

设双曲线2-21的弦AB的中点为P(x0,y0)(y00)，则直线abAB的斜率为kABb2x02

.

ay0结论3

设抛物线y22px(p0)的弦AB的中点为P(x0,y0)(y00)，则直线AB的斜率为kABp

.

y0三、点差法在圆锥曲线中点弦问题中的灵活应用

x2y2例2.过点M(m,0)的直线交椭圆C：=1于P,Q两点，且PQ的中84点坐标为(2,1)，则m( ). (A)1 (B)7 (C)3 (D)4

4

2

x2y2变式1：已知椭圆C：=1与直线y1x交于P,Q两点，则原点84与线段PQ中点连线的斜率为_______________.

1x2y2变式2：过点M(2,1)作斜率为的直线与椭圆C：221(ab0)2ab相交于P,Q，若M是线段P,Q的中点，则椭圆C的离心率为______________.

x2y2例3. 已知双曲线221(a,b0)，过x轴上点P的直线l与双曲线的ab右支交于M，N两点（M在第一象限），直线MO交双曲线左支于点Q（O为坐标原点），连接QN.若MPO60，MNQ30，则该双曲线的离心率为（

）. A.

四．课堂小结

3 2

B. 3

C. 2

D. 4

五．课后作业

x2y21ab0）1.(2013年全国Ⅰ卷第10题)已知椭圆22（的右焦点为F(3,0)，ab过点F的直线交椭圆于A、B两点. 若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为

（

）. x2y2x2y2x2y2A、45＋36＝1

B、36＋27＝1 错误！未找到引用源。C、27＋18＝1

D、x2y218＋9＝1 x22.已知过点P(2,0)的动直线与椭圆C:y21相交于不同的两点A,B，则线2段AB的中点M的轨迹方程为____________________. 3.（2015年全国Ⅱ卷第20题）已知椭圆C:9x2y2m2(m0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．

(Ⅰ)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；

（Ⅱ）若l过点(m,m)，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平3行四边形？

若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由．

4