3.1.1 变化率问题课堂实录

3.1.1变化率问题教学设计

课题

变化率问题

新课标对本节的要求是：“通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景。”新课标对导数及其应用内容是按照“平均变化率－瞬时变化率－导数的概念－导数的几何意义”的顺序来安排，

用“逼近”的方法定义导数。

变化率问题在内容上起到承上启下的作用。一方面变化率问题是对前面所学过的函数性质的进一步深入研究，另一方面本节通过实例分析，总结归纳出一般函数的平均变化率，同时探讨平均变化率的几何意义、物理意义，为下节研究瞬时速度和切线斜率作知识铺垫，对导数概念的形成起着奠基作用。同时在这个过程中渗透着从特殊到一般、从具体到抽象以及数形结合等数学思想方法，对于培养学生的观察、分析、归纳总结能力具有十分重要的意义。

1.学生认知发展分析： 在学习本节课之前，学生已具备直线斜率、物体运动的平均速度等知识储备，具备一定的归纳、概括、类比等能力基础，并且对于微积分内容具有一定程度的求知欲和渴望探究的积极情感态度。

2.学生认知障碍点：

（1）从粗糙的、模糊的、定性的生活语言，上升到定量的精确的用符号表达的数学语言的过程；

（2）从特殊到一般，从具体到抽象的概念建构过程。

1.知识与技能：

理解平均变化率的概念与意义，掌握求函数平均变化率的基本步骤。

2.过程与方法：

体验从特殊到一般，从具体到抽象和数形结合的思想方法和以直代曲的思想；

体会建立数学模型刻画客观世界的“数学化”过程。

3.情感态度与价值观：

感受合作交流带来的成功感，树立自信心

，形成合作意识，发展建模意识，培养学生严谨的科学态度、勇于探究的精神和合作交流的习惯。

教材

分析

学情

分析

教学

目标

教学理由：本节课是为下节瞬时速度和导数的概念做铺垫，整个内容紧紧围绕变量变化快慢重点

的量化来进行，因此平均变化率的概念是本节重点。

教学重点难点

教学难点

平均变化率概念的形成

理由：本节是通过对问题情境的分析讨论和总结归纳，经历由特殊到一般、由具体的生活实例到抽象的数学模型，建立平均变化率概念的过程。这个过程既要以学生的原有经验为基础，又要以学生的最近发展区为方向和以学生形成知识结构为目的。由于学生的原有知识经验不一致，和自动参与课堂的程度不同，因此建构的过程需要教师更多的引导和启发，使学生真正地达到知识的自我建构。

平均变化率概念的形成、平均变化率的几何和物理意义。

教学

引导启发式、师生合作式，CAI教学模式。

方法

学习

自主探究与小组合作学习相结合

方法

教学

教学内容

教师活动

环节

1.微积分的历史与贡献。

2.全球气候变化问题：近百年来全球平均气温呈波动学生活动

设计意图

展示牛顿和莱观看PPT，阅1.贯彻新课标提倡对数布尼茨的图片，读章引言，简学文化的渗透的理念，简要阐述微积要了解微分激发学生的学习兴趣。

上升趋势，我们如何量化平

均气温在某时期内变化的总体

快慢程度？

把握

3.本节课的学习目标：

（1）理解平均变化率的概明确

念和意义，掌握求函数平均目标

变化率的基本步骤；

（2）体验从特殊到一般，从具体到抽象和数形结合的思想方法；

（3）体验自主、合作和探究学习的快乐，增强学习信心。

问题情境:

现有某地某年3月和4

月某天日最高气温记载.

时间

2月18 3月18

4月20

日最高

3.5℃

18.6℃

33.4℃

气温

情境

探究

寻找活动1: 带着下面问题，先联系

自主思考2分钟后小组讨论，然后小组代表展现合作成果，其它成员补充。

问题1：A到B和B到C这两段时间里哪一段的温度差较大？

问题2：能不能说“温度差越大，气温变化越快？”为什么？

问题3：如何应用温度差与时间差来表示气温变化的快慢程度？

在小组里面思考与讨论下

列问题：

意义问题4：若把气温C看作时建构

间t的函数，即Cf(t),

则t1至t2这段时间内气温

分创立的历史与时代意义，告知本节课所要学习的内容，明确本节课学习的三维目标。

1．引导学生分析表中数据，了解气温的变化趋势。

2．引导学生会用温度差与时间差的比来反映气温的变化速度。

3．引导学生发现气温的平均变化率与变化快慢之间的联系。

4．引导学生发现气温变化的快慢程度与图像的陡峭程度之间的关系，平均变化率与斜率之间的关系，体验数形结合思想的过程。

4．鼓励学生进行交流分享与讨论，展示合作成果，参与课堂的探究活动。

1．引导学生理解计算平均气温的式子的结构特征。

2．让学生展示自己的探究成的发展史，感受数学对于推动科学的发展的伟大成就和重要意义；对本课所研究的问题感兴趣，了解本节课的学习内容与学习目标。让学生举例

1.在教师的引导下，以学习小组为单位进行合作交流，积极参与课堂学习活动，能主动展示自己的合作成果。

2．结合生活经验，会用温度差与时间差的比来表示气温变化的快慢程度。3．能在老师的引导下寻找出图像的陡峭程度、割线的斜率、平均变化率三者之间的关系，体验数形结合的思想方法，了解平均变化率的几何意义。

1. 在教师的引导下思考，讨论，展示相关问题，充分参与到课堂教学当中，自2．通过全球变暖问题进行问题驱动，同时渗透环保理念。

3.明确本节课的学习三维目标，以目标驱动促进本节内容的学习。

1.培养学生分析和处理问题的能力；

2.促进学生之间的学习交流，培养学生的合作、探究精神；

3.通过生活例子，让学生感受到数学与生活的密切联系。。

4.体现数学概念形成的数学现实和逻辑起点，体现概念建构的知识和生活经验起点。

5.通过一个问题窜有层次有深度地引导学生进行探究，培养学生思维的深刻性、发散性、广阔性、灵活性。同时突破了本节课的难点。

1．问题4在于让学生理解变量之间的依赖关系可以用函数模型来刻画，从前面3个具体问题中抽象出函数模型，使问题一般化。

教

学

过

程

尝试的平均变化率如何表示？

果。

理解

3．注意学生的问题5：若函数关系为亮点，关注全体yf(x),那么当x从x1学生，注重对学增加到x2时，其平均变化率生进行学习过如何表示？

程的评价。

1．平均变化率概念 1．引导学生进

行概括、理解。

我们把式子：f(x2)f(x1) x2x1

主建构新知识。

2.在教师的引导下进行计算，比较，分析，归纳。

思考与讨论，总结步骤，

作课堂笔记 2．问题5在问题4的基础上面进一步抽象和一般化，使得概念呼之欲出。

1．结合具体问题的实际意义，抽象数学模型,，由浅人深、由易到难、

称为函数yf(x) 从x1

到x2的平均变化率。

概念习惯上用x来表示形成

xx2x1，即：xx2x1

深度理解

类似地用y来表示f(x2)f(x1)，即：yf(x2)f(x1)

故平均变化率可表示为yf(x2)f(x1)

xx2x1

例：某位运动员相对于水面

的高度h与起跳后的时间t

存在函数关系：交流h(t)4.9t26.5t10，合作

请完成以下任务。

任务1.思考：在物理学中的知识平均速度跟我们今天学习内化

的平均变化率有什么联系？

任务2.计算该运动员在以下时间段里的平均速度：(1)

1,2(2)t1,t2。

活动7:先自主完成以下练

习，然后小组展示，组间互实践评。

反馈

A题：已知f(x)3x1，

分别求其在下列区间上的巩固平均变化率,然后总结求平新知

均变化率的关键步骤。

（1）1,2 （2）m,n

B题：已知f(x)x2,分别2．引导学生总结求函数平均变化率的关键步骤。

1．引导学生理解平均变化率与平均速度的联系。

2．与学生一起合作完成例题。

1．组织各小组进行展示与互评。

2．对学生进行差导性发展性评价。

在教师的引导下进行讨论与探究，参与课堂活动。先自主完成课堂练习，后在小组进行互评和互助，最后小组代表进行展示，组间进行互评。

由特殊到一般，完成了思维的飞跃，实现本节课的方法目标。

1．培养学生的民族自豪感，同时将跳水训练与学习联系起来，渗透学法指导。

2．使学生理解平均速度是平均变化率在物理学中的一个应用，体验到数学广泛的工具性，培养学生的数学应用意识和数学情感。

3．形成步骤意识和规范解答意识。

1.A题为基础题，目的在于加深学生对平均变化率概念的理解，掌握求平均变化率的基本步骤。

2.B题既是巩固学生对概念的理解，也是为引出切线的概念做铺垫。

3.课后探究是为下节瞬

求其在下列区间上的平均变化率并总结求平均变化率的一般步骤。

（1）1,1（2）x0,x0x

总结请分享你在本节课中的收反思

获与困惑。

1.学到了哪些知识：

分享2.用到了哪些方法：

收获

3.老师进行系统的总结。 课后探究

知识延伸

时速度—导数的概念做好知识铺垫。

引导总结，待学生总结后，老师规范的、系统对本节课进行总结

学生进行自我总结，从两方面分享自己的收获

让学生自己进行总结，使课堂显得更加自然、真实，和谐。体现了以学生为主体的原则。

1．课后以小组为单位，完布置课后任务

成课本73页中问题2的探究活动。

2．讨论：P74当x1逼近x2，即x逼近于0时，其割线AB斜率的变化趋势是怎样的？

课后进行探究

1．为下节课瞬时变化率做准备，引导课后复习和预习。

2．为后面由割线引向切线做好准备。

板书

3.1.1:变化率问题 设计

1．气温平均变化率：温差 时间差x2．函数平均变化率：yf(x2)f(x1)x2x1

步骤： 根据概念的形成与理解规律，本节课分为七个环节，各环节的教学效果预设如下：

一．总体把握，明确目标：学生了解到微积分历史和意义，感受数学文化，同时明确本节课的学习目标，了解本节课的学习内容是为学习微积分奠定基础。

二．情境探究，寻找联系：在三个问题窜引导下以及学生的生活经验基础，不难得出可以用温度差与时间差的比来表示气温变化的快慢程度，并能在老师的引导下寻找出图像的陡峭程度、割线的斜率、平均变化率三者之间的关系，体验数形结合的思想方法，了解平均变化率的几何意义。

三．意义建构，尝试理解：学生经历从特殊到一般，从具体到抽象，从气温的平均变化率过渡到函数的平均变化率。

教学效果预测

四．概念形成，深度理解：通过用yf(x)来表示函数关系之后，学生最终形成对概念的建构和理解，突破本节课的难点。

五．交流合作，形成知识：师生合作，使学生理解平均变化率的物理意义，形成答题的目标意识和步骤意识。

六．实践反馈，巩固新知：学生通过小组形成进行交流、合作与展示，加深对新知识的理解。

七．总结反思，分享收获：学生能根据自己的学习情况进行真实的总结，并与大家一起分享收获。

本节课采用在教师主导下的小组合作学习模式，为求突出学生的主体地位。