3.1.3 导数的几何意义教学内容

章节：3.1 课时：1

备课人

王春香

课题名称

学习目标

1.知识与技能

（1）使学生理解导数的几何意义．

（2）体会“数形结合、以直代曲”数学思想方法．

2. 过程与方法

三维目标

渗透“逼近”思想，激发学生学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知识的精神； 3. 情态与价值观

通过揭示割线与切线之间的内在联系对学生进行辩证唯物主义的教育, 引导学生从有限中认识无限，体会量变和质变的辩证关系，感受数学思想方法的魅力．

重点目标

曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义

（一）平均变化率、割线的斜率

（二）瞬时速度、导数

我们知道，导数表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变

新课引入

化情况，导数f(x)的几何意义是什么呢？

0

难点目标

导数的几何意义

3.1.3

导数的几何意义

（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当P,2,3,4)沿着曲线f(x)趋n(xn,f(xn))(n1近于点P(x0,f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？

自主学习

我们发现,当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.

图3.1-2 k问题：⑴割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率有什么关系？

⑵切线PT的斜率k为多少？

容易知道，割线PPn的斜率是knPT的斜率k，即klimf(xn)f(x0),当点Pn沿着曲线无限接近点P时，kn无限xnx0x0f(x0x)f(x0)f(x0)

x说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.

这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;

②切线斜率的本质—函数在xx0处的导数.

[（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一

定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. （二）导数的几何意义：

函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点(x0,f(x0))处的切线的斜率，

即

f(x0)limx0f(x0x)f(x0)k

x说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:

①求出P点的坐标; ②求出函数在点x0处的变化率f(x0)limx0f(x0x)f(x0)k

，得到曲线在点x(x0,f(x0))的切线的斜率；

③利用点斜式求切线方程. （二）导函数：

由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当f(x0)

是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为即:f(x)ylimf(x)的导函数.记作：f(x)或y，x0f(xx)f(x)

x注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．

（三）函数f(x)在点x0处的导数f(x0)、导函数f(x)、导数之间的区别与联系。

（1）函数在一点处的导数f(x0)，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。

(2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，

就是函数f(x)的导函数

(3）函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)就是导函数f(x)在xx0处的函数值，这也是

求函数在点x0处的导数的方法之一。

2例1:（1）求曲线y=f(x)=x+1在点P(1,2)处的切线方程.

2（2）求函数y=3x在点(1,3)处的导数. [(1x)21](121)2xx2lim2, 解：（1）y|x1limx0x0xx典型例题

所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为y22(x1)即2xy0

3x23123(x212)limlim3(x1)6

（2）因为y|x1limx1x1x1x1x1所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为y36(x1)即6xy30

1．求曲线y=f(x)=x3在点(1,1)处的切线；

变式反馈

2．求曲线y

1.知识建构

反思总结

2.能力提高

3.课堂体验

课后练习

同步练习

xk.Com]x在点(4,2)处的切线．