1.2.1 充分条件与必要条件含PPT的教学设计及点评

1.1.2

充分条件和必要条件

第1课时

充分条件和必要条件

[学习目标]

1.理解充分条件、必要条件的意义.2.会求(判定)某些简单命题的条件关系.3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳的逻辑思维能力.

知识点

充分条件与必要条件

一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件. (1)p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同.p是q的充分条件只反映了p⇒q，与q能否推出p没有任何关系. (2)注意以下等价的表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q. (3)“若p，则q”为假命题时，记作“p⇏q”，则p不是q的充分条件，q不是p的必要条件. [思考]

(1)数学中的判定定理给出了结论成立的什么条件？

(2)性质定理给出了结论成立的什么条件？

答案

(1)充分条件

(2)必要条件

题型一

充分条件、必要条件

例1

给出下列四组命题：

(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；

(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；

(3)p：A⊆B，q：A∩B＝A；

(4)p：a>b，q：ac>bc. 试分别指出p是q的什么条件. 解

(1)∵两个三角形相似⇏两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，

∴p是q的必要不充分条件. (2)∵矩形的对角线相等，∴p⇒q，

而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴q⇏p. ∴p是q的充分不必要条件. (3)∵p⇒q，且q⇒p，

∴p既是q的充分条件，又是q的必要条件. (4)∵p⇏q，且q⇏p，

∴p是q的既不充分也不必要条件. 反思与感悟

本例分别体现了定义法、集合法、等价法.一般地，定义法主要用于较简单的命题判断，集合法一般需对命题进行化简，等价法主要用于否定性命题.要判断p是不是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是不是q的必要条件，就要看q能否推出p. 跟踪训练1

指出下列哪些命题中p是q的充分条件？

(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC >AC. (2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6. (3)在△ABC中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B. (4)已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0. 解

(1)在△ABC中，由大角对大边知，∠A>∠B⇒BC>AC，

所以p是q的充分条件. (2)对于实数x，y，因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，

所以由x＋y≠8⇒x≠2或x≠6，

故p是q的充分条件. (3)在△ABC中，取∠A＝120°，∠B＝30°，

则sin A>sin B，但tan A

故p⇏q，故p不是q的充分条件. (4)由x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0，

故p是q的充分条件. 故命题(1)(2)(4)中p是q的充分条件. 题型二

充分条件、必要条件与集合的关系

例2

是否存在实数p，使4x＋p<0是x2－x－2>0的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由. 解

由x2－x－2>0解得x>2或x<－1，

令A＝{x|x>2或x<－1}，

p由4x＋p<0，得B＝{x|x<－}，

4p当B⊆A时，即－≤－1，即p≥4，

4

p此时x<－≤－1⇒x2－x－2>0，

4∴当p≥4时，4x＋p<0是x2－x－2>0的充分条件.

反思与感悟

(1)设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，则p⇒q可得A⊆B；q⇒p可得B⊆A；若p是q的充分不必要条件，则AB. (2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值. 跟踪训练2

已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x|x2－5x－24<0}，若M是N的充分条件，求a的取值范围. 解

由(x－a)2<1得x2－2ax＋(a－1)(a＋1)<0，

∴a－1

a－1≥－3，∴

解得－2≤a≤7. a＋1≤8，

故a的取值范围是－2≤a≤7.

根据必要条件(充分条件)求参数的范围

例3

已知P＝{x|a－4

因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P. a－4<1，a<5，所以即

a＋4>3，a>－1，

所以－1

错误的根本原因是忽视了集合中的不等式的等号，实际上本题中的不等式中的等a－4≤1，号能取到，即

a＋4≥3.

正解

因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P，

a－4≤1，a≤5，所以即

a＋4≥3，a≥－1，

所以－1≤a≤5. 答案

[－1,5]

1.“x＝2”是“x2－7x＋10＝0”的____________条件. 答案

充分不必要

解析

∵当x＝2时，x2－7x＋10＝4－14＋10＝0，

∴x＝2⇒x2－7x＋10＝0. 当x2－7x＋10＝0时，则x1＝2，x2＝5. ∴x2－7x＋10＝0⇒x＝2. ∴“x＝2”是“x2－7x＋10＝0”的充分不必要条件. 2.“x<2”是“x2－x－2<0”的________条件. 答案

必要不充分

解析

∵x＝－2时，x2－x－2＝4>0，

∴“x<2”⇒

“x2－x－2<0”，

∵解不等式x2－x－2<0，得－1

∴“x2－x－2<0”⇒“－1

∴“x<2”是“x2－x－2<0”的必要不充分条件. 3.“a>b”是“a＋c>b＋c”的________条件. 答案

充要

解析

∵a>b⇒a＋c>b＋c，a＋c>b＋c⇒a>b，

∴a>b是a＋c>b＋c的充要条件. 4.下列式子：①x<1；②0

②③④

解析

由x2<1，解得－1

{x|－10”的充分不必要条件，求m的取值范围. 解

由(x－1)(x－2)>0可得x>2或x<1，

由已知条件，知{x|x2或x<1}. ∴m≤1.

1.充分条件、必要条件的判断方法：

(1)定义法：直接利用定义进行判断. (2)等价法：利用逆否命题的等价性判断，即要证p⇒q，只需证它的逆否命题非q⇒非p即可；

同理要证q⇒p，只需证非p⇒非q即可. (3)利用集合间的包含关系进行判断. 2.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.