3.1.3 导数的几何意义名师课堂实录

导数及其几何意义

知识点一：基本初等函数的导数公式

（1）f(x)C（C为常数）， （2）f(x)xn（n为有理数），

（3）f(x)sinx，

（4）f(x)cosx，

（5）f(x)ex，

（6）f(x)ax，

（7）f(x)lnx，

（8）f(x)logx，a 【1-1】

求下列函数的导数：

(1) x3 (2)1 (3)x （4）ysinx （5）lnx

2x

知识点二：函数的和、差、积、商的导数

（1）和差的导数：[f(x)g(x)]'f'(x)g'(x)

（2）积的导数：[f(x)g(x)]'f'(x)g(x)f(x)g'(x)

（3）商的导数：[f(x)f'(x)g(x)f(x)g'(x)]'（g(x)0

g(x)[g(x)]2【2-1】求下列函数的导数. （1）y=(x+1)(x+2)(x+3)； （2）y=xsinx; （3）y=

(4) y＝3x＋xcosx； (5)y＝22xcosx

xsinxx； 1x

xx(6)y＝lgx－e； （7）y=etanx.

1

【2-2】f(x)ax33x22，若f'(1)4，则a的值为（

）

A．10131619

B．

C．

D．

3333【2-3】已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(e)lnx，则f(e)（ ）

A．e B．1 C．e1 D．e

【2-4】已知函数f(x)ax3bx2cx过点（1，5），其导函数yf'(x)的图象

如图3-2-1所示， 求f(x)的解析式。

知识点三 导数的几何意义

【3-1】已知曲线y134x，

33（1）求曲线在点P(2,4)处的切线方程； （2）求曲线过点P(2,4)的切线方程； （3）求斜率为4的曲线的切线方程..

1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数几何意义：

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

2

2.曲线yf(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程，可按如下方式求得：

第一，求出函数yf(x)在xx0处的导数，即曲线yf(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率；

第二，在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程yy0f'(x0)(xx0)；如果曲线yf(x)在点P(x0,f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线的定义可知，切线的方程为xx0. 【3-2】已知函数yfx的图象在点M2,f2处的切线方程是yx4，则f2f2 ．

x21lnx(x0)的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（

）

【变式一】已知曲线y241A．3

B．2

C．1

D．

2

【变式二】已知函数f(x)lnxx，则函数f(x)点P（1，f(1)）的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 .

1.曲线ye在点A(0,1)处的切线为（

）

A.yx1

B. y1

C. yex1

D.

y2.下列图象中，有一个是函数fxx1x1

lne来源学§13xax2a21x1aR,a0的导函数f/x的图象，则3f1等于（ ）

A．11715 B． C． D．或

333333.设f(x)是函数f(x)的导函数，将yf(x)和yf(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正3

确的是（ ）

4.已知函数f(x)134x.

33（Ⅰ）求函数f(x)在点P(2,4)处的切线方程； （Ⅱ）求过点P(2,4)的函数f(x)的切线方程.

5.已知函数f(x)x2ax的图像在点A(l,f(1))处的切线l与直线x十3y＋2＝0垂直，若数列{1}的f(n)前n项和为Sn，求S2017的值.

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