平行四边形的判定的综合练习第一课时评课稿

《特殊平行四边形》全章复习与巩固

【学习目标】

1. 理解菱形、矩形、正方形的概念. 2. 掌握菱形、矩形、正方形的性质定理及判定定理．

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、菱形

1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：

（1）具有平行四边形的一切性质；

（2）四条边相等；

（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

（4）中心对称图形，轴对称图形.

对角线对角线3．面积：S菱形＝底高＝2

4．判定： （1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；

（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

（3）四边相等的四边形是菱形. 要点二、矩形

1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：

（1）具有平行四边形的所有性质；

（2）四个角都是直角；

（3）对角线互相平分且相等；

（4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：S矩形＝长宽

４．判定：

（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：

（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．

要点三、正方形

1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2．性质：

（1）对边平行；

（2）四个角都是直角；

（3）四条边都相等；

（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；

（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；

（6）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：S正方形=边长×边长＝4．判定：

（1）有一个角是直角的菱形是正方形；

（2）一组邻边相等的矩形是正方形；

（3）对角线相等的菱形是正方形；

（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；

要点四、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状

（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. 1×对角线×对角线

2

（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.

（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.

【典型例题】

类型一、菱形的性质与判定

1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）

A. 对角相等

B. 对边相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等

2、下列说法中正确的是（

）

Ａ、有两边相等的平行四边形是菱形

Ｂ、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形

Ｃ、两条对角线相等且互相平分的四边形是菱形

Ｄ、四个角相等的四边形是菱形

3.如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，则菱形ABCD的面积是 .

4.如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别是边BC，AD的中点．

(1)求证：△ABE≌△CDF；

(2)若∠B＝60°，AB＝4，求线段AE的长．

5. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，点E为CD的中点，射线BE交AD的延长线于点F，连接CF．

（1）求证：四边形BCFD是菱形；

（2）若AD=1，BC=2，求BF的长．

6. 如图，已知四边形ABCD为菱形，AE＝CF. 求证：四边形BEDF为菱形。

举一反三：

【变式1】菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是( ) A．8cm和43cm B．4cm和83cm C．8cm和83cm D．4cm和43cm 【变式2】如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE= ．

【变式3】如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，分别交AB于E，交AC于F，则四边形AEDF是菱形吗?请说明理由．

【变式4】如图，由两个等宽的矩形叠合而得到四边形ABCD．试判断四边形ABCD的形状并证明

【变式5】如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F. (1)探究线段OE与OF的数量关系并说明理由．

(2)当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由．

(3)当点O在边AC上运动时，四边形BCFE________是菱形(填“可能”或“不可能”)．请说明理由．

类型二、矩形的性质与判定

1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（

）

A. AB∥DC B. AC=BD C. AC⊥BD D. OA=OC 2. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（

）

A. 对角相等 B. 对边相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分

3.矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，则BC的长是（

）

A.

2 B. 4 C. 2 D. 4

4.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB边上的中线CD＝___________．

5.如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，延长BC至点E，使BC=CE，连接DE．求证：DE=AC．

6. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．

7、如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF．

（1）求证：D是BC的中点．

（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．

8. 已知：如图，菱形ABCD，分别延长AB，CB到点F，E，使得BF=BA，BE=BC，连接AE，EF，FC，CA．

（1）求证：四边形AEFC为矩形；

（2）连接DE交AB于点O，如果DE⊥AB，AB=4，求DE的长．

举一反三：

【变式1】矩形具有而菱形不具有的性质是（

）

A.

对角线相等 B. 两组对边分别平行 C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等

【变式2】如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于(

) A. 3.5 B. 4 C. 7 D. 14 【变式3】矩形的对角线长为213,两条邻边之比是2∶3，则矩形的周长是___________．

【变式4】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P为AB边上任一点，过P分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是

．

【变式5】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE=DF．

（1）求证：AE=CF；

（2）若AB=6，∠COD=60°，求矩形ABCD的面积．

【变式6】如图，已知在四边形ABCD中，ACDB交于O，E、F、G、H分别是四边的中点，求证四边形EFGH是矩形．

DEAFBOGHC

【变式7】如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．

（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；

（2）求BF的长；

（3）求折痕AF长．

【变式8】已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF,DF∥BE．

（1）求证：△BOE≌△DOF；

（2）若OD＝1AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？说明理由．

2

类型三、正方形的性质与判定

1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（

）

A. 对角线相等 B. 对角线互相平分

C. 对角线互相垂直 D. 对角形互相垂直平分

2. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（

）

A. 当AB=BC时，四边形ABCD是菱形

B. 当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形

C. 当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形

D. 当AC=BD时，四边形ABCD是正方形 3. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使菱形ABCD成为正方形的是（

）

A.

BD=AB B. AC=AD C. ∠ABC=90° D. OD=AC 4、如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB＝2BC，分别以AB，BC为边做正方形ABEF和正方形BCMN连接FN，EC．求证：FN＝EC．

5、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，且DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗?请说明理由．

举一反三：

【变式1】如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（

）

A．75° B．60° C．55° D．45°

【变式2】如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是_______．

【变式3】有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次为S1、S2，则S1：S2等于（ ）

【变式4】如图，在四边形ABCD中，AB=BC,对角线BD平分∠ABC,P是BD上一点，过点P作PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为M、N.求证：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形.

【变式5】如图：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连结CD，BE，

（1）当点D是AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由

（2）在（1）的条件下，当∠A= 时四边形BECD是正方形．

类型四、综合应用

8、如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH为________形．

(1)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是菱形．

(2)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是矩形．

(3)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是正方形．

在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性．

举一反三：

【变式】若顺次连接四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是(

) A．矩形 B．菱形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相垂直的四边形

【课后作业】

一.选择题

1. 在下列命题中，是真命题的是（

）

A. 两条对角线相等的四边形是矩形

B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形

C. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

D. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

2．下列说法中正确的是（

）

A. 对角线相等的四边形是矩形

B. 对角线互相垂直的四边形是菱形

C. 平行四边形的对角线平分一组对角

D. 矩形的对角线相等且互相平分

3. 在四边形ABCD中，AC、BD相交于O，能判定这个四边形是正方形的是（

）

A. AO=BO=CO=DO，AC⊥BD B. AB∥CD，AC=BD C. AO=BO，∠A=∠C D. AO=CO，BO=DO，AB=BC

4. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（

） A. 四条边相等 B. 对角线互相垂直平分

C. 对角线平分一组对角 D. 对角线相等

5．菱形的两条对角线长分别为60cm和80cm，那么边长是（

）

A. 60cm

B. 50cm

C. 40cm

D. 80cm

6. 如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（

）

A． B．

C．5 D．4 7. 如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是（

）

A.108° B.72° C.90° D.100°

8．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6cm，则对角线的长为( )．

A. 3.6cm

B. 7.2cm

C. 1.8cm

D. 14.4cm

9．矩形邻边之比3∶4，对角线长为10cm，则周长为( )．

A.14cm

B.28cm

C.20cm

D.22cm

10. 已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，下列判断中错误的是（

）

A. 如果AB=CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形

B. 如果AB∥CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形

C. 如果AD=BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形

D. 如果OA=OC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形

11. 顺次连结对角线互相垂直的四边形各边的中点，所得的四边形是 ( ) A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 梯形

12.如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（

）

A．1 B．2 C．3 D．4 13. 如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1S2的值为( ) A.16 B.17 C.18 D.19

二.填空题

1．已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数之比为1∶2，则较长对角线的长为______cm．

2.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为（8，4），则C点的坐标为_______.

3．如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB中点，

且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为______cm2.

4. 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ADB=30°，则∠E= 度．

5. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，E是斜边AB上任意一点，作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，则矩形CFEG的周长是______.

6.如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为_______.

7. 如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是_________.

8. 如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是______．

9. 如图，正方形ABCD的边长为15，AG=CH=12，BG=DH=9，连接GH，则线段GH的长为______．

10. 如图，已知正方形ABCD的对角线交于点O，过O点作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF等于________．

11.如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是边AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE＋PF的值为_________.

12.如图所示，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以AE为边作第三个正方形AEGM，…已知正方形ABCD的面积S1=1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…S（，那么第8个正方形面积S8=

．

nn为正整数）

三. 解答题

1. 如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足．

（1）求证：△APD≌△CPD；

（2）若CF=3，CE=4，求AP的长．

2. 平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于O点，分别过顶点B，C作两对角线的平行线交于点E，得平行四边形OBEC．

（1）如果四边形ABCD为矩形（如图），四边形OBEC为何种四边形？请证明你的结论；

（2）当四边形ABCD是

形时，四边形OBEC是正方形．

3. 如图，四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，且AC⊥BD，点M、N分别在BD、AC上，且AO＝ON＝NC，BM＝MO＝OD. 求证：BC＝2 DN

4. 如图，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点．

（1）求证：BC=DE；

（2）连接AD、BE，若∠BAC=∠C，求证：四边形DBEA是矩形．

5．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后，得到正方形EFCG，EF交AD于H，求DH的长．

6.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，作AE∥BC，CE∥AD，AE、CE交于点E．

（1）证明：四边形ADCE是矩形．

（2）若DE交AC于点O，证明：OD∥AB且OD=AB．

7. 如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.

[来源:学,科,网]

(1)求证：OE＝OF；

(2)若CE＝8，CF＝6，求OC的长；

(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．

9. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延长OA，OC到点E，F，使AE=CF，依次连接B，F，D，E各点．

（1）求证：△BAE≌△BCF；

（2）若∠ABC=40°，则当∠EBA= 时，四边形BFDE是正方形．