等边三角形的判定教案及板书设计

等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质

靖远县北滩镇杜寨柯初级中学

周兆梅

教学目标

一、基本目标

1．理解等边三角形的判定定理及其证明，理解含有30°角的直角三角形性质及其证明，并能利用这些定理解决一些简单的问题．

2．经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．

二、重难点目标

【教学重点】

等边三角形判定定理的发现与证明．

【教学难点】

理解并掌握含30°角直角三角形的性质，能灵活运用其解决有关问题．

教学过程

环节1

自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P10～P12的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．

2．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

3．等边三角形中，两条中线所夹的钝角的度数为(

A

) A．120°

C．150°

B．130°

D．160°

4．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有(

D

) A．①②③

B．①②④

C．①③

D．①②③④

环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学) 【例1】已知a、b、c是△ABC的三边，且满足关系式a2＋c2＝2ab＋2bc－2b2，试说明△ABC是等边三角形．

【互动探索】(引发学生思考)证明△ABC是等边三角形应从哪些角度考虑？(边、角)．结合已知条件，本题应从边的角度考虑证明△ABC是等边三角形．

【证明】原关系式整理，得a2＋c2－2ab－2bc＋2b2＝0，

∴a2＋b2－2ab＋c2－2bc＋b2＝0，

∴(a－b)2＋(b－c)2＝0，

∴a－b＝0且b－c＝0，即a＝b且b＝c，

∴a＝b＝c，

∴△ABC是等边三角形．

【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)几个非负数的和为零，那么每一个非负数都等于

零；(2)有两边相等的三角形是等腰三角形，三边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．

【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3 cm，则AB的长度是( )

A．3 cm

C．9 cm

B．6 cm

D．12 cm

【互动探索】(引发学生思考)在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°，∴在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6 cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12 cm.即AB的长度是12 cm. 【答案】D 【互动总结】(学生总结，老师点评)运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．

活动2

巩固练习(学生独学) 1．若三角形中，三条中线都垂直于所对的边，则此三角形是(

D

) A．等腰三角形

B．钝角三角形

C．直角三角形

D．等边三角形

2．下列说法错误的是(

C

) A．等边三角形是等腰三角形

B．一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形

C．有两个内角不相等的三角形不是等腰三角形

D．有两个内角分别是70°和40°的三角形是等腰三角形

3．△ABC中，AB＝AC，∠A＝∠C，则∠B＝60°. 4．在△ABC中，∠B＝∠C＝15°，AB＝2 cm，CD⊥AB交BA的延长线于点D，则CD的长度是1 cm. 5．如图所示，P、Q是△ABC边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠BAC的度数．

解：∵PA＝PQ＝AQ，∴△APQ是等边三角形，∴∠APQ＝∠PQA＝∠QAP＝60°.∵PA＝PB，∴∠B＝∠PAB.又∵∠B＋∠PAB＝∠APQ＝60°，∴∠PBA＝∠PAB＝30°.同理，∠QAC＝30°，∴∠BAC＝∠BAP＋∠PAQ＋∠QAC＝30°＋60°＋30°＝120°. 活动3

拓展延伸(学生对学) 【例3】如图，在△EBD中，EB＝ED，点C在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，AB＝BC.试判断△ABC的形状，并证明你的结论．

【互动探索】由CE＝CD，EB＝ED，根据“等边对等角”及三角形外角性质，可得∠CBE1＝2∠ECB.再由BE⊥CE，根据三角形内角和定理，可得∠ECB＝60°.又∵AB＝BC，从而得出△ABC是等边三角形．

【解答】△ABC是等边三角形．证明如下：

∵CE＝CD，∴∠CED＝∠D. 又∵∠ECB＝∠CED＋∠D，

∴∠ECB＝2∠D.

∵BE＝DE，∴∠CBE＝∠D，

1∴∠ECB＝2∠CBE，∴∠CBE＝2∠ECB. ∵BE⊥CE，∴∠CEB＝90°. 又∵∠ECB＋∠CBE＋∠CEB＝180°，

1∴∠ECB＋2∠ECB＋90°＝180°，

∴∠ECB＝60°. 又∵AB＝BC，∴△ABC是等边三角形．

【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)已知一个三角形中两边相等，要证明这个三角形是等边三角形，有两种方法：①证明另一边也与这两边相等；②证明这个三角形中有一个角等于60°.(2)已知一个三角形中有一个角等于60°，要证明这个三角形是等边三角形，有两种方法：①证明另外两个角也等于60°；②证明这个三角形中有两边相等．

环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评) 1．等边三角形的判定定理：

三个角都相等的三角形是等边三角形有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

2．含30°角的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

练习设计

请完成本课时对应练习！