存在既不是整数，也不是分数的数优质课教案整理

第二章

实数

1. 认识无理数（第1课时）

一

、学生起点分析

学生在小学阶段已经学习了非负数，七年级又学习了有理数.本章第一课时的学习，学生感受到了生活中确实存在着不是有理数的数，让学生认识到所学的数又不够用了，从而激发他们学习的好奇心，能积极主动地参与到学习中，充分认识到学习无理数引入的必要性，发展学生的合情推理能力.

二

、教学任务分析

，本节课的教学目标是: 1．借助计算器探索无理数是无限不循环小数，借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并从中体会无限逼近的思想. 2．探索无理数的定义，比较无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练学生的思维判断能力. 3．能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类，并说明理由，进一步体会分类思想，培养学生解决问题的能力. 4.充分调动学生参与数学问题的积极性，培养学生的合作精神，提高他们的辨识能力. 三

、教学过程设计

.第一环节：新课引入

内容:想一想：

1. 有理数是如何分类的？

整数（如1，0，2，3，…) 有理数

129

分数(如，，，0.5，… ) 35112. 除上面的数以外，我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率，0.020020002…上节课又了解到一些数，如a22，b25中的a，b不是整数，

1

能不能转化成分数呢？那么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来揭示它们的真面目. 意图：通过这些问题让学生发现有理数不够用了，存在既不是整数，也不是分数的数，激发学生的求知欲，去揭示它的真面目. 第二个环节：活动与探究

1. 探索无理数的小数表示

内容：借助计算器以小组讨论的形式对面积为2的正方形的边长a和面积为5的正方形的边长b进行估计. 请看图，判断下面3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？边长a的取值范围大致是多少?如何估算的？是否存在一个小数的平方等于2?说说你的理由.

边长a

1

1.4

1.414

1.9881

1.999396

2

2. 探索有理数的小数表示，明确无理数的概念

内容：请同学们以学习小组的形式活动：一同学举出任意一分数，另一同学将此分数表示成小数，并总结此小数的形式. 议一议：分数化成小数，最终此小数的形式有哪几种情况？

探究结论：分数只能化成有限小数或无限循环小数. 即任何有限小数或无限循环小数都是有理数. 强调：像0.585885888588885…，1.41421356…，－2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的，并且不是循环的，它们都是无限不循环小数. 我们把无限不循环小数叫做无理数.(圆周率=3.14159265…也是一个无限不循环小数，故是无理数). 目的：通过学生的活动与探究，得出无理数的概念. 第三个环节：知识分类整理

内容：到目前为止我们所学过的数可以分为几类？(按小数的形式来分). 整数

有理数：有限小数或无限循环小数

数

无理数：无限不循环小数

分数

强调“无限不循环小数”与“无限循环小数”的联系和区别.无理数还可以进行怎样的分类? 目的：培养学生总结归纳的能力，把新学知识纳入已有的知识体系，进一步发展学生的思维判断能力，加强学生对分类思想的理解. 第四个环节：知识运用与巩固

内容：认识一个数是无理数还是有理数.

例1填空: 4.96，0.351，相继的正整数组成).

2，

3.14159，

6，

－5.2323332…，，1234567891011…(由333

…

有理数集合

…

无理数集合

例2 判断下列说法是否正确

(1)有限小数是有理数;

（

）

(2)无限小数都是无理数;

（

）

(3)无理数都是无限小数;

（

）

(4)有理数是有限数.

（

）

例3以下各正方形的边长是无理数的是（

）

(A）面积为25的正方形；

(C）

面积为8的正方形；

(B）

面积为4的正方形；

25(D）

面积为1.44的正方形.

例4一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5，则斜边a是有理数吗? 解:由勾股定理得:

a23252，即a2=34.因为34不是完全平方数，所以a不是有理数. 强调: 1. 无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数. 2. 任何一个有理数都可以化成分数而无理数则不能. 练一练：

1.课本P23 随堂练习. 322.已知：在数，5，1.42，，3.1416，，0，42，(1)2n

，

345 a 3 p形式（q ≠0，

p，q 为整数且互质），q－1.424224222…中，

（1）写出所有有理数；

（2）写出所有无理数；

（3）把这些数按由小到大的顺序排列起来，并用符号“<”连接. 目的：通过例题的讲解、练习，让学生充分理解无理数、有理数的概念、区

4

别，感受数的分类. 第五个环节：课堂小结

内容：本节课你有哪些收获? 1．无理数的定义. 2．你是怎样判断一个数是无理数还是有理数的？

3．请把已学过的数怎样分类？

目的：让学生学会及时对知识点、数学方法进行总结，并整理成经验，形成知识体系，培养学生良好的学习习惯，提高其归纳总结能力. 第六个环节：布置作业

习题2.2

1.2.3. 四、

教学反思

第二章

实数

2. 平方根（第1课时）

一、学生起点分析

学生的知识技能基础：学生刚学完《勾股定理》，通过本章第一节的学习，已具备了对无理数的认识，知道只有有理数是不够的．学生还具备了乘方运算的基础，并且有计算正方形等几何图形面积的技能．

学生活动经验基础：在前面的学习过程中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具备了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．

5

二、教学任务分析

本节的教学目标如下：

①了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根；了解算术平方根的性质．

②在概念形成过程中，让学生体会知识的来源与发展，提高学生的思维能力；在合作交流等活动中，培养他们的合作精神和创新意识．

③让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲．

三、教学过程设计

第一环节：问题情境

方法一：问题导入

内容：上节课学习了无理数，了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数．比如上一节课我们做过的：由两个边长为1的小正方形，通过剪一剪，拼一拼，得到一个边长为a的大的正方形，那么有a22，a＝

，2是有理数，而a是无理数．在前面我们学过若x2a，则a叫x的平方，反过来x叫a的什么呢？本节课我们一起来学习．

方法二：问题导入

内容：前面我们学习了勾股定理，请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：

x2

，y2

，z2

，w2

．

目的：方法一和二都是带着问题进入到这节课的学习，让学生体会到学习算

6

术平方根的必要性．

第二环节：初步探究

内容1：情境引出新概念

x22，y23，z24，w25，已知幂和指数，求底数x，你能求出来吗？

目的：让学生体验概念形成过程，感受到概念引入的必要性．

说明：无论是用方法一引入，还是方法二引入，都是激发学生继续往下学习的兴趣，都可以提出同样的问题“已知幂和指数，求底数x，你能求出来吗？”

内容2：在上面思考的基础上，明晰概念：

一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“a”，读作“根号a”．特别地，我们规定0的算术平方根是0，即00．

目的：对算术平方根概念的认识．

内容3：简单运用

巩固概念

例1

求下列各数的算术平方根：

(1) 900；

(2) 1；

(3) 49；

(4) 14．

64目的：体验求一个正数的算术平方根的过程，利用平方运算求一个正数的算术平方根的方法，让学生明白有的正数的算术平方根可以开出来，有的正数的算术平方根只能用根号表示，如14的算术平方根是14．

．内容4：回解课堂引入问题

x22，y23，w25，那么x2，y3，w5．

第三环节：深入探究

内容1：例2

自由下落物体的高度h(米)与下落时间t(秒)的关系为h4.9t2．有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？

7

目的：用算术平方根的知识解决实际问题．

解：将h19.6代入公式h4.9t2，得t24，所以正数t42(秒)．

即铁球到达地面需要2秒．

说明：强调实际问题t是正数，用的是算术平方根，此题是为得出下面的结论作铺垫的．

内容2：观察我们刚才求出的算术平方根有什么特点．

目的：让学生认识到算术平方根定义中的两层含义：a中的a是一个非负数，a的算术平方根a也是一个非负数，负数没有算术平方根．这也是算术平方根的性质——双重非负性．

第四环节：反馈练习

一、填空题：

1．若一个数的算术平方根是7，那么这个数是

；

2．9的算术平方根是

；

23．()2的算术平方根是

；

34．若m22，则(m2)2

．

二、求下列各数的算术平方根：

36，1215，15，0.64，104，225，()0．

1446三、如图，从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定帐篷．若绳子的长度为5.5米，地面固定点C到帐篷支撑竿底部B的距离是4.5米，则帐篷支撑竿的高是多少米？

三、解：由题意得

AC＝5.5米，BC＝4.5米，∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得ABAC2BC25.524.5210(米)．所以帐篷支撑竿的高是10米．

8

目的：旨在检测学生对算术平方根的概念和性质的掌握情况，以便根据学生情况调整教学进程.

第五环节：学习小结

内容：这节课学***方根是本章的基本概念，是为以后的学习做铺垫的．通过这节课的学习，我们要掌握以下的内容：

(1)算术平方根的概念，式子a中的双重非负性：一是a≥0，二是a≥0．

(2)算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根．

(3)求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根．

目的：依照本节课的教学目标引导学生自己小结本节课的知识要点，强化算术平方根的概念和性质．

第六环节：作业布置

习题2.3 四、教学设计反思

第二章

实数

２. 平方根（第2课时）

一、学生起点分析

学生在七年级上册学习

“棋盘上的故事”就认识了一种运算

“乘方”，并能熟练计算任何一个数的平方．知道正数的平方是正数，负数的平方是正数，0的平方是0．

在八年级上册第二章《实数》的学习中又认识了算术平方根的

9

概念和表示方法，已能求非负数的算术平方根．那么这一课时进一步学***方根．本节也为后面学习

“立方根”做基础．

二、教学任务分析

本节课的教学目标是

①了解平方根、

开平方的概念，明确算术平方根与平方根的区别和联系．

②进一步明确平方与开平方是互逆的运算关系．

③经历平方根概念的形成过程，让学生不仅掌握概念，而且提高和巩固所学知识的应用能力．

教学重点是

①了解平方根、开平方的概念．

②了解开方与乘方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根和平方根．

③了解平方根与算术平方根的区别与联系．

教学难点是

①平方根与算术平方根的区别和联系．

②负数没有平方根，即负数不能进行开平方的运算．

三、教学过程设计: 第一环节

复习旧知

引入新知

内容:方法一

复习引入

1．什么叫算术平方根?

3的平方等于9，那么9的算术平方根就是

3

．

2

2的平方等于

4

，那么4

的算术平方根就是_____5_________．

52525

展厅的地面为正方形，其面积49平方米，则边长_

7_米．

2．到目前为止，我们已学过哪些运算?这些运算之间的关系如何？

乘方有没有逆运算?

10

平方与算术平方根之间的关系？

已知折叠着的正方形ABCD面积为1，则边长为__1___．将它扩展，若面积变为原来的2倍，那么它的边长为___2___；若面积变为原来的3倍，则边长为____3_____；若面积变为原来的n倍，则边长为____n____．

方法二

复习引入

问题

平方等于9，4，49的数还有吗？

25

目的:

这一环节主要是复习旧知识和提出问题，由上节课的“算术平方根”的求法使学生能明白“平方”和“算术平方根”的关系，让学生在几何图形中认识．熟悉它们的互化关系．并把上节课的思考题制作成Flash情景引入，增加动画效果．

．内容

（一）探究新知

填空

3=(9 )

2

(－3)=(9 )

(

)=9

0=0

()1222221=(4)

2

214

(不存在)2=－4 1

(2)=(4)

1（二）形成概念(1) 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根．而把正的平方根叫做a的算术平方根．

2表达式为:若x=a，那么x叫做a的平方根．

记作

a．

例如:(±4)

=16，则+4和－4都是16的平方根；即16的平方根是±4；4是16的算术平方根．

（三）探索平方与开平方的关系: 给出几组具体的数据，由平方探知开平方与平方的互逆关系．

2

11

（四）概念辨析

平方根与算术平方根的联系与区别

联系

1．包含关系

平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种．

2．只有非负数才有平方根和算术平方根．

3．

0的平方根是0，算术平方根也是0．

区别

1．个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根．

2．表示法不同：平方根表示为

a

，而算术平方根表示为a．

目的

形成“平方根”的概念．在列举一些具体数据的感性认识基础上，由平方运算反推出平方根的概念和定义，并让学生非常熟练地进行平方和平方根之间的互化并，明白它们之间的互逆关系，辨析概念

“平方根”与

“算术平方根”的区别与联系，使之与上一节课紧密联系．

第三环节

例题和新知巩固

（一）例题示范

求下列各数的平方根:

(1)64；(2)492；(3)

0.0004；(4)25；(5) 11 121解

（1）8264，64的平方根是8，即648；

494977（2）11121,121的平方根为11，即249121711；

（3）0.0220.0004,0.0004的平方根是0.02，即0.00040.02；

（4）252252,252的平方根是25，

即25225；

（5）11的平方根是11

（二）思考提升

1．52的平方根是

，81的算术平方根是_____，_____；

2．64

，52

，64

，0.04=_______；

3．a2=

，当a0时，a

．

（三）巩固练习

12 224的平方根是9

1 ．下列说法正确的是

①3是81②25的平方根是5；③－36的平方根是－6；④平方根的平方根；等于0的数是0；⑤64的平方根是8．

2．下列说法不正确的是(

) ．

(A)0的平方根是0

(B)22的平方根是2

(C)非负数的平方根是互为相反数

(D)一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数

3．已知一个自然数的算术平方根是a，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（

）．

(A) a+1

(B)a1

(C)

a2+1

(D)a21

4．x为何值，x2有意义？

x答

因为0，所以x0

2

第四环节

课堂小结

内容

引导学生总结本课时的知识、方法．

目的

让学生对所学的知识进行梳理，使之思路清晰，既巩固了有关知识，又培养了学生良好的学习习惯．

第五环节

提高训练

内容

1.511的小数部分为a，511的小数部分为b，求ab的值．

2．已知实数a，b满足b2a496b

①若a，b为ABC的两边，求第三边c的取值范围；

②若a，b为ABC的两边，第三边c等于5，求ABC的面积．

第六环节

作业布置

习题2．４

四、教学设计反思

13

第二章

实数

３．立方根

一

、

学生起点分析

学生已经学***方根的概念，掌握了求一个非负数的平方根和算术平方根的方法，明确了平方运算与开平方的互逆关系．学生在平方根学习活动中体会了类比的思想方法，为立方根的学习提供了一定的经验基础和学习方法．立方根的计算有着非常广泛的应用，有关空间形体的计算经常涉及开立方，因此本节知识是后续学习内容的基础．

二

、

教学任务分析

本节课的三维教学目标是：

①了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根；会用立方运算求一个数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算，了解立方根的性质；区分立方根与平方根的不同；

②经历对立方根的探究过程，在探究中学会解决立方根的一些基本方法和策略，培养逆向思维能力和分类讨论的意识．学生在经历用类比的方法学习立方根的有关知识过程中，领会类比思想；

③立方根概念、符号、运算及性质的探究过程中，培养学生联系实际、善于观察、勇于探索和勤于思考的精神；

三、教学过程设计

第一环节：创设问题情境

内容：

某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体，现在要造一个新的球形储气罐，如果它的体积

14

是原来的8倍，那么它的半径是原储气罐的多少倍？如果储气罐的体积是原来的4倍呢？

4（球的体积公式为v＝R3，R为球的半径）

3

提问：怎样求出半径R ？学完本节知识后，相信你会有一个满意的答案．有关体积的运算和面积的运算有类似之处，让我们用上节课解决问题的方法来学习新知识

．

目的：通过实际情境引入，让学生感受新知学习的必要性，激发学生的求知欲望．

第二环节：复习引入、类比学习

内容：

提问：（1）什么叫一个数a的平方根？如何用符号表示数a（a≥0）的平方根?

（2）正数的平方根有几个？它们之间的关系是什么？负数有没有平方根？0的平方根是什么？

（3）平方和开平方运算有何关系？

（4）算术平方根和平方根有何区别与联系？

强调：一个正数的平方根有两个，且互为相反数；一个负数没有平方根；0的平方根是0．

（5）为了解决前面情景中的问题，需要引入一个新的运算，你将如何定义这个新运算？

1．一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）．

2．一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（cube root, 也叫做三次方根）．如：2是8的立方根，－3是－27的立方根，0是0的立方根．

目的：学生通过回顾上节课的学习内容，为进一步研究立方根的概念及性质做好铺垫，同时突出平方根与立方根的对比，以利于弄清两者的区别和联系．

15

第三环节：初步探究

内容：

1做一做：怎样求下列括号内的数？各题中已知什么数？求什么数？

33（ ）＝－（ ）＝0.001

；

（2）（1）273（ ）＝0．

；

（3）64

目的：通过计算练习,使学生进一步了解求一个数的立方，与求一个数的立方根是互为逆运算,感受一个数的立方根的唯一性，计算中对a的取值分别选为正数、负数、0，这样设计，在此过程中渗透分类讨论的思想方法．

2议一议：

（1）正数有几个立方根？

（2）0有几个立方根

（3）负数呢？

意图：提问，是为了指出平方根与立方根的对比，以利于弄清两者的区别和联系．

3在上面的基础上明晰下列内容，对知识进行梳理

（1）每个数a都只有一个立方根，记为“3a”，读作“三次根号a”．例如x3=7时，x是7的立方根，即37=x；与数的平方根的表示比较，数的立方根中根号前没有“±”符号，但根指数3不能省略．

（2）正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．

（3）求一个数a的立方根的运算叫做开立方(extrction of cubic root) , 其中a叫做被开方数．开立方与立方互为逆运算．

第四环节：尝试反馈，巩固练习

内容：

例1求下列各数的立方根：

（1）－27；

（2）

83

；

（3）3

；

（4）0.216

；

（5）－5．

12583（－3）＝－27，所以－27的立方根是－3，即3－27＝－3；

解：（1）因为828282（2）因为，所以的立方根是，即3＝；

1255125551253

16

332733333（）＝＝3，所以3的立方根是，即33＝；

（3）因为2888282

3（0.6）＝0.216，所以0.216的立方根是0.6，即30.216

（4）因为＝0.6；

（5）－5的立方根是3－5．

例2 求下列各式的值：

8（1）8;

（2）0.064;

（3）；

（4）12533339．

333解：（1）38=322；

（2）30.064=30.40.4；

8

（3）3=3125

反馈练习

22；

（4）5539=9．

331．求下列各数的立方根：

30.125；364； －64；5；

33316.

332．通过上面的计算结果，你发现了什么规律？

目的：例1着眼于弄清立方根的概念，因此这里不仅用立方的方法求立方根，而且书写上采用了语言叙述和符号表示互相补充的做法，学生在熟练以后可以简化写法．例2则巩固立方根的计算，引导学生思考立方根的性质．

第五环节：深入探究

想一想：

（1）3a表示a的立方根，那么（2）3－a与－3a有何关系？

目的：明晰a等于什么？333a3呢？

a

=a，333a3=a 说明：若学生通过上面的计算得出了立方根的性质，可以直接展示学生的成果；若没有得出结果，可以引导学生分析，如果x3=a,那么x就是a的立方根，即x=3a,所以x=a=a, 同样，根据定义，a是的a三次方，所以a的立方33333根就是a, 即3a3a，3－a=－3a．

17

第六环节

课时小结

内容1：提问通过本节课的学习你学到了哪些知识？归纳、总结学生的回答，得出下列内容：

1．了解立方根的概念，会用三次根号表示一个数的立方根，能用立方运算求一个数的立方根．

2．在学习中应注意以下5点：

（1）符号3a中根指数“3”不能省略；

（2）对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有一个立方根；

（3）平方根和立方根的区别：正数有两个平方根，但只有一个立方根；

负数没有平方根，但却有一个立方根；

（4）灵活运用公式：(3a)3=a, 3a3a，3－a=－3a；

（5）立方与开立方也互为逆运算．我们可以用立方运算求一个数的立方根，或检验一个数是不是另一个数的立方根．

目的：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，使知识系统化．

内容2：回顾引例

某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体，现在要造一个新的球形储气罐，如果它的体积是原来的8倍，那么它的半径是原储气罐半径的多少倍？如果储气罐的体积是原来的4倍呢？

如有时间，学生学力许可，还可以安排学生探究下列问题：

＝0，求x的值．

1．回顾上节课的内容：已知2x2182．求下列各式中的x．

(1)8x3＋27＝0；

（2）x10.3430; (3)81x116；（4）32x510.34目的：回顾引例，使得教学环节更完整，同时体现了数学的实用价值．安排有层次的探究问题，可更好地调动不同学生的学习热情，让学生通过练习解决有关问题，培养学生综合解决问题的能力．

第七环节

作业布置

18

1、

习题2.5

2、再次体会总结立方根与平方根的区别与联系

四、教学反思

第二章

实数

４. 估算

一、学生起点分析

八年级学生初步认识了无理数，对平方根和立方根也有了一定的了解，这样学习“公园有多宽”这节内容就有了一定的基础，但由于学生对估算还比较陌生，在实际教学中需要通过大量贴近学生生活的实例让他们体会估算的方法，初步形成估算的意识，发展学生的数感．

二、教学任务分析

本节课的教学目标是：

①会估算一个无理数的大致范围，比较两个无理数的大小，会利用估算解决一些简单的实际问题．

②经历实际问题的解决过程和平方根、立方根的估算过程，发展估算意识和数感．

③体会数学知识的实用价值，激发学生的学习热情．

三、教学过程设计

第一环节：情境引入

内容：

由修建环保公园的实际问题情境引出本节课的学习内容――公园有多宽．

某市开辟了一块长方形的荒地用来建一个以环保为主题的公园．已知这块地

19

的长是宽的两倍，它的面积为400000平方米．此时公园的宽是多少?长是多少? 给出这个问题情境，先让学生凭感觉说出公园的长和宽分别是多少．

给出引导问题：公园的宽有1000米吗？（没有）那么怎么计算出公园的长和宽．

解：设公园的宽为x米，则它的长为2x米，由题意得：

x·2x =400000，

2x2=400000，

x =200000．

那么200000=?

目的：

从现实情境引入，一方面让学生初步建立数感，另一方面让学生体会生活中的数学从而激发学习的积极性．

第二环节：活动探究

内容：

1．探究一个无理数估算结果的合理性．

2．学会估算一个无理数的大致范围．

例1 下列结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴交流．

①40≈20

；

②

③100000≈500；

④

30.9≈0.3；

900≈96．

解答：这些结果都不正确．

怎样估算一个无理数的范围? 例2 你能估算它们的大小吗？说出你的方法．

①40

；

②0.9；

③100000

；

④3900．

（

①②误差小于0.1；③误差小于10；④误差小于1．）

解答：

40≈6.3 ；

≈0.9；

100000≈310 ；

0.93900≈9．

说明：误差小于10就是估算出的值与准确值之间的差的绝对值小于10，所以100000的估算值在误差小于10的前提下可以是310，也可以是320，还可以

20

是310到320之间的任何数．教材使用误差小于10，而不用精确到哪一位，目的在于降低要求。

目的：

同伴间进行交流，教师适时引导．在解决问题的同时引导学生对解决方法进行总结，和学生一起归纳出估算的方法．让学生从被动学习到主动探究，激发学生的学习热情，培养学生自主学习数学的能力．

第三环节：深入探究

内容：

用估算来解决数学的实际问题．

例1

你能比较5-11与的大小吗？你是怎样想的？

225-11与的分母相同，只要比较他们的分子就可以了，225-11＞．

22小明是这样想的：因为5＞2，所以5-1＞1，

解：∵5＞4，即（5）2＞22，

∴5＞2，

5-1＞1，

即

5-11＞．

22例2

解决引入时“公园有多宽？”的问题情境中提出的问题．

200000=? （1）如果要求误差小于10米，它的宽大约是？

（大约440米或450米）

说明：只要是440与450之间的数都可以．

（2）该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800平方米，你能估计它的半径吗（误差小于1米）？

21

（15米或16米）

说明：只要是15与16之间的数都可以．

例3

给出新的问题情境——画能挂上去吗？

生活表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙距离为梯子长度的三分之一，则梯子比较稳定．现有一长度为6米的梯子，当梯子稳定摆放时，

（1）他的顶端最多能到达多高（保留到0.1）？

（2）现在如果请一个同学利用这个梯子在墙高5.9米的地方张贴一副宣传画，他能办到吗？

6 x 1×6

3

解：设梯子稳定摆放时的高度为x米，此时梯子底端离墙恰好为梯子长度的根据勾股定理

：

1，3x21+（×6）2=62，

3x2+4=36，

2x=32

，

x=32，

因为5.6231.3632

因为5.7232.4932

22

所以画不能挂上去

目的：

学生通过独立思考与小组讨论相结合的方式解决新的实际问题，让学生初步体会数学知识的实际应用价值．

效果：

在解决实际问题中再次体会估算的方法，从而体验到学习数学的乐趣．

第四环节：反馈练习

内容：

反馈练习1

估算下列数的大小．

（1）13.6（误差小于0.1）

；

（2）3800（误差小于1）．

解答：

（1）

∵3．6＜13.6＜3.7，

∴13.6≈3.6或3.7（只要是3.6与3.7之间的数都可以）．

（2）

∵9＜3800＜10，

∴3800≈9或10（只要是9与10之间的数都可以）．

反馈练习2

通过估算，比较下面各数的大小．

（1）3-11与

；

（2）15与3.85．

22解答：

（1）∵3＜2，

∴3-1＜1，

即3-11＜．

22（2）∵3.852=14.8225，

∴15＞3.85．

反馈练习3

给出与生活密切联系的实际问题情境

23

一个人一生平均要饮用的液体总量大约为40立方米

，如果用一圆柱形的容器（底面直径等于高）来装这些液体，这个容器大约有多高（误差小于1米）? 目的：

教学引导学生解决问题，学生通过独立思考和与同伴合作交流的方式解决提出的问题，让学生再次体会估算的方法和估算的实际应用，调动探究的积极性．

效果：

进一步激发学生对利用估算的方法解决问题的兴趣，调动学生学习数学的热情．

第五环节：反思归纳

内容：

1．用自己的语言表达学习这节内容的感想

（1）通过这节课的学习，你掌握了哪些知识？

（2）通过学习这些知识，对你有怎样的启发？

（3）对于这节课的学习，你还有哪些疑问？

2．浏览给出的知识点归纳．

目的：

引导学生归纳本节的基本内容，让学生及时小结，教师展示知识脉络图并反思本节课教学设计的不足，及时做出后面教学的调整．

效果：

部分学生能大胆地提出疑问．

第六环节：作业巩固

内容：

习题2.6

1，2，3，6 四、教学设计反思

24

第二章

实数

6．实数

一、学生起点分析

实数是在有理数和勾股定理等知识基础上进行的第二次数系扩张，在教学中注意运用类比方法，使学生明确新旧知识之间的联系，如实数的相反数、倒数、绝对值等概念可完全类比有理数建立，并通过例题和习题来巩固，适当加深对它们的认识。

二、教学任务分析

本节课的教学目标是：

1．了解实数的意义，能对实数按要求进行分类；了解实数和数轴上的点一一对应，能根据实数在数轴上的位置比较大小. 2．了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样. 3．在利用数轴上的点来表示实数的过程中，让学生进一步体会数形结合的思想。

4.在认识“实数”这一新知识时，学生应用已有的“有理数”的相关概念及运算规律类比解决“实数”的相关概念及运算规律，从而获取解决实数相关问题的基本方法。

5．了解数系扩展对人类认识发展的必要性；

教学重点

1．了解实数意义，能对实数进行分类；

2．在实数范围求相反数、倒数和绝对值、明确实数的运算运算规律；

3．明确数轴上的点与实数一一对应并能用数轴上的点来表示无理数。

教学难点

利用数轴上的点表示无理数

25

三、教学过程设计

第一环节：复习引入新课

内容：问题：（1）什么是有理数？有理数怎样分类？

（2）什么是无理数？带根号的数都是无理数吗？

意图：回顾以前学习过的内容，为进一步学习引入无理数后数的范围的扩充作准备。

第二环节：实数概念和分类

内容1：把下列各数分别填入相应的集合内：

3204152，4，7，，2，2，3，5，38，9，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）

有理数集合

无理数集合

…

…

知识整理：有理数和无理数统称为实数。

意图：通过将以上各数填入有理数集合和无理数集合，建立实数概念。

内容2：1．你能把上面各数分别填入下面相应的集合内吗？

正数集合

负数集合

…

…

2．0属于正数吗？0属于负数吗？

知识整理：无理数和有理数一样，也有正负之分。

1．从符号考虑，实数可以分为正实数、0、负实数，即：

26

正实数实数0负实数

2．另外从实数的概念也可以进行如下分类：

有理数实数无理数

意图：在实数概念形成的基础上对实数进行不同的分类。上面的数中有0，0不能放入上面的任何一个集合中，学生容易遗漏，强调0也是实数，但它既不是正数也不是负数，应单独作一类。提醒学生分类可以有不同的方法，但要按同一标准不重不漏。

第三环节：实数的相关概念

内容1：1．在有理数中，数a的相反数是什么？绝对值是什么？当a不为0时，它的倒数是什么？

32．2的相反数是什么？5的倒数是什么？3，0，—π的绝对值分别是什么？

意图：从复习入手，类比有理数中的相关概念，建立实数的相反数、倒数和绝对值等概念，它们的意义和有理数范围内的意义是一致的。

内容2：想一想：

1．3—π的绝对值是 。

2．想一想：a是一个实数，它的相反数是 ，它的绝对值是 ，当a≠0时，它的倒数是 。

知识整理

（1）相反数：a与—a互为相反数；0的相反数仍是0；

1（2）倒数：当a≠0时，a与a互为倒数（0没有倒数）；

（3）绝对值：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；

27

即：a|a|0a(a0)(a0)(a0)

意图：加深学生对相关概念的理解。

第四环节：实数运算

内容：1.在有理数范围内，能进行哪些运算？（加、减、乘、除、乘方），用哪些运算律？

2.判断下列各式成立吗？

351135355

2552 43273247321132 意图：从复习入手，类比有理数中的相关运算及运算律，得到有理数的运算及运算律对实数仍然适用。

第五环节：探究——实数与数轴上点之间的对应关系

内容1：如图所示，认真观察，探讨下列问题：

议一议：

（1）如图，OA=OB，数轴上A点对应的数表示什么？它介于哪两个整数之间？

（2）如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗？

知识整理

（1）每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点是一一对应的；

（2）在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。

意图：探讨用数轴上的点来表示实数，将数和图形联系在一起，让学生进一步领会数形结合的思想，利用数轴也可以直观地比较两个实数的大小。

28 B A -2

-1

0

1

2

第六环节：课堂练习

内容：1．判断下列说法是否正确：

（1）无限小数都是无理数；

（2）无理数都是无限小数； （3）带根号的数都是无理数。

2．求下列各数的相反数、倒数和绝对值：

3（1）7； （2）8； （3）49．

3．在数轴上作出5对应的点。

意图：通过以上练习，检测学生对实数相关知识的掌握情况。

第七环节：归纳小结

内容：议一议，本节课我们学习了哪些知识？

意图：鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获。

效果：学生交流，互相补充，完成本节知识的梳理。

六、教学反思

第二章

实数

7．二次根式（第1课时）

一、学生起点分析

七年级上学期已学习了有理数的加、减、乘、除、乘方运算，本学期又学习了有理数的平方根、立方根，认识了实数．这些都为本课时学习二次根式的运算公式提供了知识基础．当然，毕竟是一个新的运算，学生有一个熟悉的过程，运算的熟练程度尚有一定的差距，在本节课及后两节课的学习中，应针对学生的基础情况，控制上课速度和题目的难度．

29

二、教材任务分析

本节分为三个课时。第一课时，认识二次根式和最简二次根式的概念，探索二次根式的性质，并能利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式的形式；第二课时，基于二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算；第三课时，进一步进行二次根式的运算，发展学生的运算技能，并关注解决问题方式的多样化，提高学生运用法则的灵活性和解决问题的能力．

为此，确定本节课教学目标是：

1.认识二次根式和最简二次根式的概念.

2.探索二次根式的性质．

3.利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式．

三、教学过程设计

第一环节：明晰概念

问题1 ：5，11，7.2，49，(cb)(cb)（其中b=24,c=25），上述121式子有什么共同特征？

答：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数。

介绍二次根式的概念。一般地，式子a(a0)叫做二次根式。a叫做被开方数．强调条件：a0．

问题2：二次根式怎样进行运算呢？

答：这是我们本节课要解决的新问题．

意图：通过问题，回顾旧知，为导出新知打好基础．

第二环节：探究性质

（一）内容：通过探究得出abab，具体过程如下：

（1）49＝

，49＝

；

aba．

b1625＝

，1625＝

；

49＝

，4＝

；

91625＝

，16＝

．

25（2）用计算器计算：

67＝

，67＝

；

30 67＝

，6＝

．

7

问题1：观察上面的结果你可得出什么结论？

问题2：从你上面得出的结论，发现了什么规律？能用字母表示这个规律吗？

问题3：其中的字母a，b有限制条件吗？

意图：最终归纳出abab（a≥0，b≥0），aba（a≥0，

b＞0）．

b说明：公式中字母a≥0，b≥0（或b＞0）这一条件是公式的一部分，不应忽略．

第三环节：知识巩固

例1

化简（1）8164；（2）256；（3）5。

9

观察：化简以后的结果中的被开方数又有什么特征？

意图：由于现在还没有最简二次根式的概念，学生实际上并不知道化简的方向，因此，这里以例题的形式呈现了有关结论.

被开方数中都不含分母，也不含能开得尽的因数。一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。

化简时，要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式。

例2.化简：（1）45；（2）27；（3）13；（4）8125；（5）．

916答案：（1）4595953535；

（2）2793933333； （3）13=13333；

3422222；

3332555555．

444（4）8899423（5）

12512516162554问题：

（1）你怎么发现45含有开得尽方的因数的？你怎么判断根式的？

31 14是最简二次7

（2）将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会，与同伴交流。

说明：含有根号的数与一个不含根号的数相乘，一般把不含根号的数写在前面，并省略去乘号．

反思：以上化简过程有何规律呢？希望学生得出：根号里面的数有一部分移到了根号外面，具体来说是能开得尽方的因数，开方后写到了根号外面．从而明确：被开方数若有开得尽的因数，一般需要进行化简．

第四环节：知识拓展

说明：这部分根据学生的实际情况进行取舍，程度好的班级可选用，基础不好的班级舍去．

练习：

1.下列平方根中, 已经简化的是（ ）

A. 1 B. 20 C. 22 D. 121

32.判断下列各式是否成立。你认为成立的请在（）内打对号

，不成立的打错号

。

①222332 （ ）

； ②33 ( ) 33884455

（ ）； ④5( ) 4515152424③

4你判断完以后，发现了什么规律？请用含有n的式子将规律表示出来，并说明n的取值范围？

第五环节：课堂小结

本节课主要内容：

（1）掌握并会运用公式：abab（a≥0，b≥0），aba（a≥0，b＞b0）．

（2）理解本节课中用过的数学方法：类比，找规律，归纳总结．

五、教学反思

32

第二章

实数

7．二次根式（第2课时）

一、学生起点分析

在前面，学生已经掌握了实数的概念，实数的运算法则；学会了利用公式：，abab（a≥0，b≥0）aba（a≥0，b＞0）进行简单的实数四则b运算．本课时更多的是反用上面的公式，因此，上一课时知识成为本课时很好的知识基础。

二、教材任务分析

．本节课的教学目标是：

1.通过对公式的反向运用，达到化简的目的．学会一种特殊的思考方法．

3.在探究、合作活动中，发展学生探究能力和合作意识．

4.通过对公式的逆运用，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．

三．教学过程设计

第一环节：复习引入

内容：复***方根的概念，并提出问题：下面正方形的边长分别是多少？

面积8 这两个数之间有什么关系，你能借助什么运算法则或运算率解释它吗？点明本节课研究课题

面积2

意图：借助复习，在巩固旧知的同时，导入新课。

第二环节：知识探究

1．在上一课时探究的公式的基础上明晰二次根式乘除的运算法则：，abab（a≥0，b≥0）aba（a≥0，b＞0）．

b2．提出问题：能否根据该公式将8化成22？

33

例3

计算：

（1）62263；（2）；（3）。

352解：

（1）略

（2）63225＝＝＝632＝63＝9＝3 2（3）22510＝=

5555说明：常常把要被开方数的分子与分母同乘以一个适当的数，使得分母成为一个平方数．

第三环节：巩固练习

例4

计算：

（1）3223（2）1235；（3）(51)2；（4）(133)(133)；

（5）(121818（6）。

)3；32 解：（1）3223=3223=66；

（2）1235＝1235＝365＝6－5＝1；

（3）(51)2＝(5)2251＝5＋25＋1＝6＋25； （4）(133)(133)＝(13)232＝4；

（5）(1211)31233361615；

33 （6）81881849235。

222意图：从本例开始，正式进行二次根式的加减乘除运算，但设计时注意了题目的梯度。本例还侧重于乘除法运算，只是已经开始考虑有关运算律和公式的运用了（如交换律、结合律、分配率、乘法公式等）；教学中，注意体会这些题目之间的层次性，教学中务必循序渐地开展相关技能训练，让更多的学生感受到成功的喜悦，循序渐进地发展学生的学力。

例5 计算：

34

（1）483；（2）514；（3）(3)6。

53解：（1）483＝1633＝1633＝433＝53；

（2）5415555；

＝5＝5＝5＝5552525（3）(443)6636818223252。

33课堂练习1：

1.化简：（1）18；（2）451(3)6

；（3）（4）12．（5）3375；322第四环节：知识拓展

﹡课堂练习2：

化简：（1）128； （2）9000； （3）21248；

（4）2132； （6）．

5032； （5）320459523解：（1）1286426428282；

（2）9000900109001030103010；

（3）21248

＝24316324316322343

434383；

（4）25032

9＝292521621

522425216252422；

333（5）32045

35

＝3459555514

3459565355；255525（6）3266666656．

234923649第五环节：课堂小结

在进行根式乘除运算时，你有哪些体会与收获？

五、教学反思

第二章

实数

7．二次根式（第3课时）

一、学生情况分析

前面学习了实数，实数的运算法则，最简二次根式及二次根式的化简，已能进行实数的四则运算.但熟练程度不高，同时对根号内含字母的二次根式的化简比较生疏.．为今后的数学学习扫清了计算方面的障碍．

二、教学任务分析

本节课的目标定为：

1.进一步理解二次根式的概念，进一步熟练二次根式的化简。

2. 了解根号内含有字母的二次根式的化简

3.利用二次根式的化简解决简单的数学问题．

通过独立思考，能选择合理的方法解决问题．

4.在运算过程中巩固知识，通过与人交流总结方法．

根号内含字母的二次根式的化简对学生来说是一个难点．

三、教学过程设计

36

第一环节：复习引入

内容：

（1）最简二次根式的概念；

（2）二次根式化简过程中，你有哪些体会？

（3）上节课课后作业：若21.414，31.732，62.449，求是怎样解决的？

意图：借助复习，在巩固旧知的同时，导入新课．

3．你2第二环节：知识巩固

1.巩固提升

例4 计算：

（1）32121；（2）188；（3）(24)3．

386322322311111＝＝66＝()6＝6；

32233236231215＝322222＝32222＝2；

81644解：（1）（2）188（3）(24111 )3＝2433

＝2433

66612111

＝42

＝222

＝2

．

636666＝82.交流

收集第（3）小题有多少种解决方法．让学生说说想法．

3.反思

以上过程每位同学都是怎样化简的，方法好不好，能做到快而准确吗？ 4.练习

化简：

（1）1211)8．

；（2）123；（3）(185103237

解：（1）2125110111＝＝1010＝10；

5105510105101011314＝433＝2333＝3；

33333（2）123（3）(18111)8＝1888＝1888

22218＝1444＝122＝10．

2＝188第三环节：问题解决

如图所示，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形

的面积，你有哪些方法，与同伴交流．

1.交流

让学生充分发表意见．

2.答案

（1）直接求法．

过点D作AB边上的高DE，可发现边AB，DC及DE 都是某一个小直角三角形的斜边．根据勾股定理可求得

AB＝52，

CD＝2，DE＝32，面积梯形ABCD的面积是

1(522)32＝18. 2（2）间接求法．

将梯形ABCD补成一个5×7长方形，用长方形的面积减去3个小三角形的面111积，得梯形ABCD的面积是57554211＝18．

222第四环节：知识提升

1.知识探索

问题：a2（a0）等于多少？

根据算术平方根的定义，可知a2a（a0）．

2.知识运用

38

例5

化简：

（1）25a3b3（a0，b0）；（2）(xy)3（xy0）；（3）b0）．

abb（a0，a解：（1）25a3b3＝52a2b2ab＝52a2b2ab＝5abab；

（2）(xy)3＝(xy)2(xy)＝(xy)xy；

（3）abab＝ababa11＝＝abab．

2baba3.课堂练习

1.当a0，b0时化简：

（1）ab(1ab)；b)ab；

（2）4a2b3；（3）(baaba15．

ab（4）10a2ab5解：（1）ab(ababab)＝abab＝abab

bababa＝a2b2＝ab；

（2）4a2b3＝22a2b2b＝22a2b2b＝2abb；

（3）(111b)ab＝abbab＝abbab＝bb2a

aaa＝bba；

（4）10a2baba102b32ab515＝(10a515)ab＝a

abab3a102b2ba102b2ba102b2ab102b＝a＝＝＝aaaab

2223333aaaa＝10abab．

31b)ab的值，其中a3，b2．

a39 2. 求代数式(

解：由题知a0，b0．

(111b)ab＝abbab＝abbab＝bab2

aaa＝bba．

当a3，b2时，bba＝223．

第五环节：课堂小结

（1）二次根式的化简：

二次根式的化简一定要化成最简二次根式．

（2）利用式子a2a（a0）可将根号内含字母的二次根式化简，结果也要化成最简二次根式．

第六环节：课后作业

习题 2．11 1， 3 补充作业：

化简：（1）(232)(362)； （2）32(2124yxx)xy(x0,y0)； y1348)； 8（3）(xy2（4）(a3bab3ab)ab(a0,b0)； （5）2a3ab2b327a32aba(a0)．

64答案：（1）16246；（2）4866；（3）xy2yx；（4）a2bab2abab；（5）5ab3a．

2五、教学反思

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