3.1.3 导数的几何意义ppt配套的教学设计及说课稿

导数的几何意义

一、教学目标：

通过函数图象直观理解导数的几何意义，会求曲线的切线方程．

二、学情分析：

1学生是山区的，数学基础较差。

2.学生偏科严重，两极分化严重。

三、重点难点：

重点是理解对导数的几何意义的理解，难点是灵活求切线的方程。

四、教学过程：

1. 导数的几何意义

几何画板演示导数的几何意义

函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的_______________. 曲线在点P(x0，f(x0))处的切线方程是___________________. 【例1】

(1)曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1,1)处的切线方程为____________．

(2)若曲线y＝xln x存在斜率为2的切线，则该切线方程为____________．

解：

(1)因为y′＝3ln x＋4，所以k＝y′|x＝1＝3ln 1＋4＝4，

又切点为(1,1)，所以切线方程为y－1＝4(x－1)，

即4x－y－3＝0. (2)因为y′＝ln x＋1，设切点为P(x0，y0)，

则y′x＝x0＝ln x0＋1＝2，所以x0＝e，

此时y0＝x0ln x0＝eln e＝e，所以切点为(e，e)．

故所求切线方程为y－e＝2(x－e)，即2x－y－e＝0. 答案：(1)4x－y－3＝0

(2)2x－y－e＝0 对点训练

(1)(2014·江西高考)若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．

1

图2－10－1 变式训练

过点A(0,16)作曲线y＝x3－3x的切线，则此切线方程为

____________________. 解：因为点A(0,16)不在曲线y＝x3－3x上，

设切点为M(x0，y0)，则有y0＝x30－3x0，

又y′x＝x0＝3(x20－1)，

2故切线方程为y－(x30－3x0)＝3(x0－1)(x－x0)．

所以A(0,16)在切线上，

2所以16－(x30－3x0)＝3(x0－1)(0－x0)，

化简得x30＝－8，解得x0＝－2. 所以切点为M(－2，－2)，切线方程为9x－y＋16＝0. 点评：(1)求切线方程有如下三种类型：

①已知切点(x0，y0)，求切线方程；

②已知切线的斜率k，求切线方程；

③求过(x1，y1)的切线方程．

其中①是基本类型，类型②和类型③都可转化为类型①进行处理．

(2)三种类型的求解方法：

类型①，利用y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)直接求出切线方程．

类型②，设出切点(x0，y0)，再由k＝f′(x0)，再由(x0，y0)既在切线上，又在曲线上求解；

类型③，先设出切点(x0，y0)，利用k＝f′(x0)及已知点(x1，y1)在切线上求解．

2

巩固：

已知函数f(x)＝－x2在点P处的切线的斜率为－2，则点P的坐标为_______________. 解：设点P的坐标为(x0，y0)．

因为f′(x)＝－2x，所以k＝f′(x0)＝－2x0＝－2，所以x0＝1，

代入y＝－x2得y0＝－1，所以切点坐标为(1，－1)．

课堂小结

导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点M(x0，f(x0))处切线的斜率，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

若设点(x0，y0)是切线l与曲线C的切点，则有如下结论：

①f′(x0)是切线l的斜率；

②点(x0，y0)在切线l上；

③点(x0，y0)在曲线C上．

五、课后作业：

1．(2013·大纲全国卷)已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝(

) A．9 C．－9 【答案】

D 2．(文)曲线y＝x2ex＋2x＋1在点P(0,1)处的切线与x轴交点的横坐标是(

) 11A．1

B.2

C．－1

D．－2

【答案】

D 3．已知函数f(x)在R上满足f(2－x)＝2x2－7x＋6，则曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程是(

) A．y＝2x－1 C．y＝3x－2 【答案】

C 二、填空题(每小题5分，共15分) 4．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________．

【答案】

2

B．6

D．－6 B．y＝x

D．y＝－2x＋3 3

5．已知a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－2)x的导函数f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程是________．

【答案】

y＝－2x

三、解答题(本大题共3小题，共35分) 6．(10分)已知曲线C1：y＝x2与C2：y＝－(x－2)2，直线l与C1，C2都相切，求直线l的方程．

2【解】

设l与C1相切于点P(x1，x21)，与C2相切于Q(x2，－(x2－2))．

2对于C1：y′＝2x，则与C1相切于点P的切线方程为y－x1＝2x1(x－x1)，即y2＝2x1x－x1，

对于C2：y′＝－2(x－2)，

则与C2相切于点Q的切线方程为

y＋(x2－2)2＝－2(x2－2)(x－x2)，

2即y＝－2(x2－2)x＋x2－4. ∵两切线重合，

2∴2x1＝－2(x2－2)，且－x1＝x22－4. 解得x1＝0，x2＝2或x1＝2，x2＝0. ∴直线l方程为y＝0或y＝4x－4. 911．(12分)设有抛物线C：y＝－x2＋2x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限，求切线方程．

【解】

设点P的坐标为(x1，y1)，则y1＝kx1 9y1＝－x2＋12x1－4 92①代入②得x1＋k－2x1＋4＝0. ∵P为切点，

17192k－∴Δ＝－16＝0得k＝2或k＝2. 217当k＝2时，x1＝－2，y1＝－17. 1当k＝2时，x1＝2，y1＝1. 1∵P在第一象限，∴所求的斜率k＝2.

①

②

4

1故所求切线方程为y＝2x. 12．(13分)已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．

(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；

(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．

【解】

f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．

f0＝b＝0，(1)由题意得

f′0＝－aa＋2＝－3，解得b＝0，a＝－3或a＝1. (2)∵曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，

∴关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，

∴Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，

1即4a2＋4a＋1>0，∴a≠－2. 11∴a的取值范围为－∞，－2∪－2，＋∞.



5