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高中新课标教程人教A版选修一

第三章3.3导数在函数中的应用

3.3.2

函数的极值与导数

黄石市第一中学

叶志雄

教学背景：本课内容是同学们刚刚学完极值点、极值概念后的延伸,是对概念加深理解的关键一课.从知识内容讲,求极值点及极值要熟练运用求导公式和求导法则,对运算要求较高,同时还要反过来判断极值点存在的条件,这就要求脑海中要根据函数单调性随时具备形成图像的能力.遇到综合问题,要用数学方法构建模型,把未知问题转化为已解决的问题.比如方程解的个数问题就要转化为函数图像交点个数问题,这就需要大致画出函数图像,而对于我们不了解的函数图像,这就需要我们借助导数知识判断函数单调性,从而找到极值点,最终画出该函数的大致图像.因此,此节课培养了同学们的数学运算、直观想象、数学建模以及逻辑推理等数学学科核心素养. 教学目标:1

了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活运用

2

掌握函数极值的判定及求法

3

掌握函数在某一点取得极值的条件

教学重点：求函数极值的判定方法

教学难点：理解极值存在的条件以及发掘综合问题中隐含的极值问题

教学过程：

一

旧知回顾

（1）

极小值点与极小值

函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.

师问:

请问如何判断点x=a左边对应导数值的正负呢？

生答：可以根据图像在点x=a左边对应切线斜率的正负来判断

师问：那你判断的原理是什么呢？

生答：因为导数的几何意义：函数在某一点处切线的斜率等于该点处的导数值

设计意图：让学生借助几何直观去发现导数值的正负与极值点关系，构建学生对极值点认知的模型结构图

(2)

极大值点与极大值

函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.

师问：图像在x=b处对应的切线有什么特征呢？它附近的切线呢？

生答：根据切线图像可以判断出斜率的正负，从而很容易得到在x=b处左边导数值为正，右边为负，x=b 处导数值为0 设计意图：让学生对极值点的判断强化图形意识，提高学生直观想象的核心素养

总结：极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值

二

题型探究

类型一

求函数的极值和极值点

例1

求下列函数的极值：

f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1；

解答：函数f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1的定义域为R，

f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)，

解方程6(x＋2)(x－1)＝0，得x1＝－2，x2＝1. 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：

所以当x＝－2时，f(x)取极大值21；当x＝1时，f(x)取极小值－6. 师问：我们先请同学们思考这个问题，看如何作答！

老师下讲台环顾四周，指导和督促学生做题，然后将一位做得较好学生的草稿通过投影仪展现给全体同学

师问：大家看看这位同学的解答，有什么问题没有

大家齐答：没有问题，做得非常好

师问：那请问张同学，你为什么要在负无穷到到正无穷这个区间上去讨论问题呢？

生答：我是考虑了函数的定义域，但我没有写

师说：看来大家心里都有一本账呀，这个账就是“定义域”！

师问：那你是如何准确判断导函数所在区间的正负呢？

生答：可以在区间内取特殊值，也可以用“穿针引线法”

师说：好的，通过此题我们来一起总结下求可导函数f(x)的极值的步骤：

(1)确定函数的定义域，求导数f′(x). (2)求方程f′(x)＝0的根. (3)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况列表，再根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值. 特别提醒：在判断f′(x)的符号时，借助图象也可判断f′(x)各因式的符号，还可用特殊值法判断. 设计意图：通过让学生思考做题，可以检测学生掌握的情况，及时发现问题和解决问题。然后通过师生讨论总结出求极值的一般步骤，加强学生印象，规范学生答题。对大家不易判断的区间正负问题归纳了两种好的方法。通过练习提高了同学们数学运算的数学核心素养

类型二

已知函数值求参数

例2

已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a＝____，b＝___. 解答：∵f′(x)＝3x2＋6ax＋b，且函数f(x)在x＝－1处有极值0.

师问：此题同学们能很快给出解答吗？

老师继续下讲台环顾四周，检查学生答题，并挑选具有代表性的一位同学答案展示

师问：严同学解出的答案是两个，是不是两个都行呢？我们来看看正确答案：a=2,b=9

为什么严同学解出的

a=1,b=3 不行呢？

生答：老师，我们可以将a=1,b=3带入进去，我们发现导函数恒大于或等于0，这个好像和前面讲的定义不符

师问：哪里不符？与概念不符，我们不妨想想先前判断极值点的方法，再说仔细点！

生答：哦，老师，我知道啦！有无极值点，是要看此点两边的导数值是否异号，这样原函数在此点两边有增有减，故有极值点。而导函数恒大于或等于0，说明原函数是增函数，没有极值点! 师说：很好！严同学及时纠正了自己的错误。已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：

(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解. (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性. 设计意图：让学生自己犯错误，再发现错误并最终解决错误，这个过程会让学生深有体会，并记忆牢靠，杜绝犯类似错误。这种经历能很好锻炼学生逻辑思维能力，培养他们逻辑推理数学核心素养！

类型三

函数极值的综合运用

解答：

师问：图像交点问题，我们有何思路呢？

生答：可以画出两个函数图像，通过图像确定参数a的范围

师问：如何画出三次函数图像呢？我们对它并不熟悉呀！

生答：可以通过导数研究三次函数的单调性，然后判断出函数的极值点，

再找到图像与X轴，y轴特殊的交点，便可大致画出函数图像。

师问：那另外一个函数图像几何意义清楚吗？它表示什么呢？

生答：清楚！直线y=a就是平行或重合与x轴的直线，它的动态图像就是上下移动，

它与三次函数有几个交点一目了然，从而可以得到参数

a的范围。

师说：很好！利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上

画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点

的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便. 设计意图：通过师生探讨，分析出解题思路，然后总结出解此类的模型。探究隐藏在综合问题中的极值点问题。逐渐形成以导数为工具来求极值点从而画出函数图像的意识，这个可以提升同学们数学建模数学核心素养。

三

当堂训练

师问：此题是两个函数图像交点个数问题，这两个函数还有些复杂，那么应该如何转化呢？

生答：我们先应该把复杂的函数化简，然后根据有交点，所以这两个函数可以有一个共同

的自变量和函数值，从而可以转化为方程问题来解。

师问：对的！函数图像交点个数问题，如果两个函数很复杂，可以转化为方程问题来解决，大家可以试一试！

老师黑板演板，算到x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m如何处理呢？

生答：可以全部移到左边转化为x3－7x2＋8x－m=0，然后再转化为两个函数交点个数问题

师问：能否再说具体点吗？到底是哪两个函数呢？

生答：看成g(x)=x3－7x2＋8x－m与y=0两个函数图像交点问题，几何意义是

g(x)＝x3－7x2＋8x－m的图象与x轴有三个不同的交点，这和前面一个例题很像！

师说：既然大家都同意你的看法，那么请大家顺着这个思路将此题解决！

老师再次下讲台，环顾四周，寻找到正确解决此题着，然后展示给同学们

设计意图：通过化归思想，将此题转化为前面解决过的模型，这样使同学们形成题源，对学

生提高数学抽象的数学核心素养大有裨益！

最后老师总结：

1.

在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值. 2

.函数的极值是函数的局部性质.可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件

是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反. 3.

利用函数的极值可以确定参数的值,也可以将一些方程解的个数问题转化为函数图象

的交点个数问题. 设计意图：提炼本节课主要内容，让学生脑海中浮现知识结构图，达到巩固加深的作用！