复习参考题全国优秀课堂实录

空间向量在立体几何中的应用

东莞十中

梁锦连

教学目标：

巩固空间向量的基本知识，能运用空间向量的知识证明空间位置关系和进行角与

距离的运算，培养学生运用向量工具分析问题和解决问题的能力

重点难点：

掌握运用空间向量的知识证明空间位置关系和进行角与距离的运算。

用向量坐标运算证明线线或线面垂直是向量的一个重要应用，要熟练掌握，关键是

建系，求点的坐标，其中建系的恰当与否决定解题的繁简程度。

一、知识梳理

1.两个重要向量

（1）直线的方向向量是指和这条直线平行（或重合）的向量，一条直线的方向向量有无数个. （2）平面的法向量

直线l平面,取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面的法向量.显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量. na0设a,b是平面内两不共线的向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为2.nb0直线的方向向量与平面的法向量在确定直线和平面位置关系中的应用

（1）设直线l1的方向向量为u1a1,b1,c1，直线l2的方向向量为u2a2,b2,c2.

如果l1//l2，那么u1//u2u1u2a1a2,b1b2,c1c2；

如果l1l2，那么u1u2u1u20a1a2b1b2c1c20；

（2）设直线l的方向向量为ua1,b1,c1，平面的法向量为na2,b2,c2.

若l//，那么unun0a1a2b1b2c1c20；

若l，那么u//nukna1ka2,b1kb2,c1kc2；

（3）设平面的法向量为u1a1,b1,c1，平面的法向量为u2a2,b2,c2.

如果//，那么u1//u2u1u2a1a2,b1b2,c1c2；

如果，那么u1u2u1u20a1a2b1b2c1c20；

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3.利用空间向量求空间角

（1）求两条异面直线所成的角

　　设两条异面直线a,b的方向向量分别为a,b，其夹角为,则coscos(其中为异面直线a,b所成的角），范围是（0，].2（2）求直线与平面所成的角

设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为. 则sincosa,nabab,

lanan.0,

2an（3）求二面角的大小0,

cos

ABCDABCDcos

注意：结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角. 4.求点到平面的距离

n1n2n1n2

点B到平面的距离d

nABn

2

二、例题讲解

1.如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB2,BAD600. （1）求证：BD平面PAC; （2）若PAAB，求PB与AC所成角的余弦值；

（3）当平面PBC与平面PDC垂直时，求点A到平面PDC的距离. （1）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD

又因为PA平面ABCD，所以PABD

因为ACPAA，所以BD平面PAC

（2）解：以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-XYZ

则P0,3,2,A0,3,0,B1,0,0,C0,3,0

所以PB(1,3,2),AC(0,23,0)

设PB与AC所成角为，

则cosPBAC6PBAC222364

（3）由（2）知BC1,3,0

设P(0,3,t)t0，则BP1,3,t

设平面PBC的法向量m(x,y,z)，则BCm0,BPm0

所以x3y0tz0

令y3,x3,z6

所以m6x3yt3,3,t

同理，平面PDC的法向量为n63,3,t

因为平面PBC与平面PDC垂直

所以nm0

解得t6，所以PA6

所以P(0，3,6)，n(3，3,6),又因为PA(0，0,6)

所以dPAnn6322即点A到平面PDC的距离为2.

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三、规律总结

证明平行、垂直问题的常用方法

（1）用向量法证明线面平行

证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；

证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行. （2）用向量法证垂直问题

证明线线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为0；

证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定

定理转化为证明线线垂直；

证明面面垂直，只需证明两平面的法向量的数量积为0，或利用面面垂直的判定定理转

化为证明线面垂直. （3）求角度方法总结

求异面直线所成的角，用向量法就是求两直线上的两方向向量的夹角，需注意角度的范围；

求直线与平面所成的角，用向量法就是求直线上的方向向量与平面法向量的夹角，同样需

注意角度的范围；

求二面角的大小，就是求两半平面的法向量的夹角（或夹角的补角），具体以结合图像作判断. （4）求点面（线面、面面）距离问题步骤总结

求出该平面的法向量n；

找出以该点及平面内的某点为端点的线段对应的方向向量a；

利用公式dann求距离. 四、课堂练习

1.（2011广东，18,13分）如图，在椎体PABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且DAB600,PAPD2,PB2,E,F分别是BC,PC的中点. （1）证明：AD平面DEF; （2）求二面角PADB的余弦值.

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五、课后作业

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