1.2.2 充要条件优秀教学设计

数列求和

教学目标：

知识目标：熟练运用公式法、倒序相加法、裂项相消法、错位相减法、分组求和法等方法进行数列求和。

能力目标：培养学生的观察能力、计算能力；加强转化思想方法的渗透教学。

情感目标：培养学生严谨求实的钻研精神。

教学重点：运用公式法、倒序相加法、裂项相消法、错位相减法进行数列求和。

教学难点：运用转化的思想方法解决求和问题。

一、导入：

我们主要研究了两类特殊的数列——等差数列、等比数列。其中一项重要的内容就是数列的求和，它是数列知识的综合体现。求和题在高考试题中很常见，它主要考查我们有关数列的基础知识，分析问题和解决问题的能力。这节课我们将进一步研究数列的求和问题。

二、知识回顾：

1、等差数列和等比数列的前n项和公式分别是什么？

（1）等差数列的前n项和公式：___________________; （2）等比数列的前n项和公式：①___________________;

②___________________ （3）常用求和公式：123......n

三、探究

考点一

公式法求和

【典例1】(2016·南宁模拟)等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16。

(1)求数列{an}的通项公式。

(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第4项和第16项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn。

以上运用了公式法直接求和。运用公式时要注意以下问题：1、公式熟悉。2、明确首项和项数。3、等比数列中要特别注意使用条件。

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练习

1．已知{an}是首项为1，公差为2的等差数列，Sn表示{an}的前n项和。

(1)求a及S。

nn

(2)设{bn}是首项为2的等比数列，公比q满足q2－(a4＋1)q＋S4＝0。求

{bn}的通项公式及其前n项和Tn。

考点二

分组法求和

n2＋n*【典例2】已知数列{a}的前n项和S＝，n∈N。

nn

2

(1)求数列{an}的通项公式；

a

(2)设bn＝2n＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和。

分组求和法：分组求和法是将一个数列转化为等差数列、等比数列或者其他能方便求和的数列，然后分别求和的方法。

练习

(2016·2．湖州模拟)在等比数列{an}中，已知a1＝3，公比q≠1，等差数列

{b

n}满足b1＝a1，b4＝a2，b13＝a3。

(1){bn}的通项公式；

求数列{an}与n(2)记cn＝(－1)bn＋an，求数列{cn}的前n项和Sn。

考点三

裂项相消法求和

12S－【典例3】已知数列{a}中，a＝1，当n≥2时，其前n项和S满足S＝a。

n1nnnn

2(1)求

Sn的表达式；

Sn(2)设b＝

n2n＋1，求{bn}的前n项和Tn。

练习

3．(2016·烟台模拟)在等比数列{an}(n∈N*)中，a1>1，公比q>0，设bn＝log2an，

b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0。

且

求{an}的通项an。

(1)1

(2)若cn＝，求{cn}的前n项和Sn。

nb－6n

数列

1

nn＋k(k为非零常数)

12

4n－11

nn＋1n＋21

n＋n＋k1loga1＋

na>0，a≠1

常见的裂项方法(其中n为正整数) 裂项方法

1111＝n－

nn＋kkn＋k1111－＝

4n2－122n－12n＋1111－

2nn＋1n＋1n＋211＝(n＋k－n) n＋n＋kk- 2 - 1loga1＋n＝loga(n＋1)－logan



裂项求和法：分母为等差数列的某相邻两项之积，而分子为常量的分式型数列的求和，将它的每一项分解为两项差的形式，前一项的减数恰与后一项的被减数相同，求和时中间项互相抵消。

考点四

错位相减法求和

【典例4】已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0。

an(1)cn＝，求数列{cn}的通项公式；

bn

n＋1(2)若b＝3，求数列{an}的前n项和Sn。

n

bn}的前n项和时，

错位相减法一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·

可采用错位相减法求和，一般是在和式的两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解。若

{bn}的公比为参数(字母)，则应对公比分等于1和不等于1两种情况分别求和。

练习

4．(2016·天水模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＋2n＝2an。

(1)证明：数列{an＋2}是等比数列。并求数列{an}的通项公式an。

bn3的前n项和。求证：Tn<。

(2)若数列{b}满足b＝log(a＋2)，设T是数列nn2nn

2an＋2

四、小结:本节课的主要内容是公式法和分组求和法对数列求和。

（1）公式法求和

（2）分组求和

（3）裂项相消法

（4）错位相减法

五、课后作业

课本习题

六、教学反思

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