1.2.1 充要条件名师教学设计1

教案

课题：充要条件

讲课人：周启泽

【教材分析】

本节内容是高中（A）版选修2—1，是中学数学中的重要概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系，目的是为数学推理的学习打下基础。数学上的充分条件和必要条件，与日常生活中的“充分”“必要”的意义很相近。而学生对于充分条件和必要条件的运用和掌握有赖于后继的学习，教学中不要急于求成，需要一定时间的体会和思考，为帮助学生理解，可借助生活中的例子，结合具体的数学命题来学习充要条件

。

【学生分析】

【学习目标】1.理解充要条件的意义，及简单运用，培养思维能力，通过实验探究培养学生的探索精神.通过合作学习，培养学生团队协作精神。

【教学重点难点】1.会判断、证明充要条件.

2通过学习，明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假．

教学过程

第一部分

探究点一

充要条件的判断

活动一

思考

已知p：整数a是2的倍数；q：整数a是偶数．

请判断：

p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？

教案

例1

下列各题中，哪些p是q的充要条件？

(1)p：b＝0，q：函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；

(2)p：x>0，y>0，q：xy>0；

(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c；

(4)p：x>5，q：x>10；

(5)p：a>b，q：a2>b2.

反思与感悟

判断p是q的什么条件，最常用的方法是定义法，另外也可以使用等价命题法或集合法．

跟踪训练1

(1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是(

) A．ab＝0

B．ab>0 C．a2＋b2＝0

D．a2＋b2>0

(2)x>2的一个必要不充分条件是__________；x＋y>0的一个充分不必要条件是________________．

(3)“函数y＝x2－2x－a没有零点”的充要条件是_____________________________

教案

探究点二

思考

如何证明充要条件？

（分清充分性和必要性）

．

例2

求证：方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根均大于1的充要条件是k<－2. 反思与感悟

一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p⇒q.

跟踪训练2

求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．

活动二、能力提升

1．设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

2．下列不等式：①x<1；②0

3．给出下列命题：

教案

①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；

②命题“在△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；

③命题“若a>b>0，则a>b>0”的逆否命题；

④“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆命题．

其中真命题的序号为________．

14．已知p：2≤x≤1，q：(x－a)(x－a－1)>0，若p是綈q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．

5．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.

活动三、探究与拓展

6设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.

课堂检测

1．“x2>2 013”是“x2>2 012”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

2．设{an}是等比数列，则“a1

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

33

教案

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

3．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是(

) A．m＝－2

B．m＝2 C．m＝－1

D．m＝1 4．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是(

) 1A．x＝－2

B．x＝－1 C．x＝5

D．x＝0 5．已知直线l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是a＝________.

小结

1．充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法．

2．充要条件的证明与探求

(1)充要条件的证明分充分性和必要性的证明．在证明时要注意两种叙述方式的区别：

①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；

②p的充要条件是q，则p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性．

(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件．

．

板书设计: 充要条件

一，定义

二，例题讲解

1 充分条件

2必要条件

教案

3充要条件

三，布置作业