3.1.3 空间向量的数量积运算第二课时教学实录

平面向量的数量积及应用

一

知识要点：

1．平面向量的数量积，向量的夹角a·b＝|a|·|b|cos θ. 2．平面向量数量积的性质

设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则

(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ.

(2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a. a·b(4)cos θ＝.(5)|a·b|≤|a||b|. |a||b|3．平面向量数量积有关性质的坐标表示

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到

(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝x2＋y2. →(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝|AB|＝x2－x12＋y2－y12. (3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 二

例题分析：

→→→→→例题1(1)设四边形ABCD为平行四边形，|AB|＝6，|AD|＝4，若点M，N满足BM＝3MC，DN→→→＝2NC，则AM·NM等于(

) A．20

B.

15

C．9

D．6 →→→→(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB的值为________；DE·DC的最大值为________．

答案

(1)C

(2)1

1 1→1→→→3→→→→解析

(1)AM＝AB＋AD，NM＝CM－CN＝－AD＋AB，

44311→→1→→1→→→→∴AM·NM＝(4AB＋3AD)·(4AB－3AD)＝(16AB2－9AD2)＝(16×62－9×42)＝9，

4124848故选C. (2)方法一

以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设

→→→→E(t,0)，t∈[0,1]，则DE＝(t，－1)，CB＝(0，－1)，所以DE·CB＝(t，－1)·(0，－1)＝1. →→→→→因为DC＝(1,0)，所以DE·DC＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，故DE·DC的最大值为1.

1

→→方法二

由图知，无论E点在哪个位置，DE在CB方向上的投影都是CB＝→→→1，∴DE·CB＝|CB|·1＝1，

→→→→当E运动到B点时，DE在DC方向上的投影最大即为DC＝1，∴(DE·DC)max→＝|DC|·1＝1 π例题2(1)已知向量a，b均为单位向量，它们的夹角为，则|a＋b|等于(

) 3A．1

B.2

C.3

D．2 →(2) 在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，3)，C(3,0)，动点D满足|CD|＝1，→→→则|OA＋OB＋OD|的最大值是________．

答案

(1)C

(2)7＋1 π解析

(1)因为向量a，b均为单位向量，它们的夹角为，

3所以|a＋b|＝a＋b2＝a2＋2a·b＋b2＝

π1＋2cos ＋1＝3. 3→→(2)设D(x，y)，由CD＝(x－3，y)及|CD|＝1知(x－3)2＋y2＝1，即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆．

→→→又OA＋OB＋OD＝(－1,0)＋(0，3)＋(x，y)＝(x－1，y＋3)，

→→→∴|OA＋OB＋OD|＝x－12＋y＋32.

22例题3(1)(2015·重庆)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹3角为(

) ππ3πA.

B.

C.

D．π

424(2)若向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________．

99－∞，－∪－，3

答案

(1)A

(2)22解析

(1)由(a－b)⊥(3a＋2b)得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0.又∵|a|＝设〈a，b〉＝θ，即3|a|2－|a|·|b|·cos θ－2|b|2＝0，

82222π∴|b|2－|b|·cos θ－2|b|2＝0，∴cos θ＝.又∵0≤θ≤π，∴θ＝. 3324(2)∵2a－3b与c的夹角为钝角，∴(2a－3b)·c＜0，

即(2k－3，－6)·(2,1)＜0，∴4k－6－6＜0，∴k＜3. 2 22|b|，3

9又若(2a－3b)∥c，则2k－3＝－12，即k＝－. 29当k＝－时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，即2a－3b与c反向．

299－∞，－∪－，3.

综上，k的取值范围为22例题4在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝(1)若m⊥n，求tan x的值；

π(2)若m与n的夹角为，求x的值．

3解

(1)因为m＝所以m·n＝0，即22，n＝(sin x，cos x)，m⊥n. ，－2222sin x－cos x＝0，所以sin x＝cos x，所以tan x＝1. 22π220，. ，n＝(sin x，cos x)，x∈，－222π1(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos＝，

32即π1221ππππx－＝，因为0

sin x－cos x＝，所以sin422222444ππ5π所以x－＝，即x＝.

4612→→→例题5

(1)已知向量OA＝(k,12)，OB＝(4,5)，OC＝(10，k)，且A、B、C三点共线，当k<0时，若k为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________．

→→(2)设O为坐标原点，C为圆(x－2)2＋y2＝3的圆心，且圆上有一点M(x，y)满足OM·CM＝0，y则＝______. x答案

(1)2x＋y－3＝0

(2)±3 →→→→→→→→解析

(1)∵AB＝OB－OA＝(4－k，－7)，BC＝OC－OB＝(6，k－5)，且AB∥BC，

∴(4－k)(k－5)＋6×7＝0，解得k＝－2或k＝11. 由k<0可知k＝－2，

则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0. →→(2)∵OM·CM＝0，∴OM⊥CM，∴OM是圆的切线，设OM的方程为y＝kx，

由

1例题6若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，2则α与β的夹角θ的取值范围是________．

π5π答案

6，6

3 |2k|y＝3，得k＝±3，即＝±3.

x1＋k2

解析

如图，向量α与β在单位圆O内，由于|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，1β为邻边的平行四边形的面积为，

21故以向量α，β为两边的三角形的面积为，故β的终点在如图所示的线段41π5π→α∥AB，且圆心O到AB的距离为，因此夹角θ的取值范围为，.

AB上266三

课后练习：

π1．已知向量a＝(1，3)，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为，则实数m等于(

) 6A．23

B.3

C．0

D．－3 答案

B π解析

∵a·b＝(1，3)·(3，m)＝3＋3m，a·b＝12＋32×32＋m2×cos ，

6π∴3＋3m＝12＋32×32＋m2×cos ，∴m＝3.

612．设e1，e2，e3为单位向量，且e3＝e1＋ke2(k＞0)，若以向量e1，e2为邻边的三角形的面21积为，则k的值为(

) 2A.3257

B.

C.

D.

2222答案

A 11解析

设e1，e2的夹角为θ，则由以向量e1，e2为邻边的三角形的面积为，得×1×1×sin 22111θ＝，得sin θ＝1，所以θ＝90°，所以e1·e2＝0.从而对e3＝e1＋ke2两边同时平方得1＝＋224k2，解得k＝33或－(舍去)．

22→→3．已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0)，则|PA＋PB＋→PC|的最大值为(

) A．6

B．7

C．8

D．9 答案

B →→→解析

由A，B，C在圆x2＋y2＝1上，且AB⊥BC，所以AC为圆直径，故PA＋PC＝2PO＝→→→→(－4,0)，设B(x，y)，则x2＋y2＝1且x∈[－1,1]，PB＝(x－2，y)，所以PA＋PB＋PC＝(x－6，→→→y)．故|PA＋PB＋PC|＝－12x＋37，所以x＝－1时有最大值49＝7，故选B.

4

→→→→4．在△ABC中，A＝90°，AB＝1，AC＝2.设点P，Q满足AP＝λAB，AQ＝(1－λ)AC，λ∈R.→→若BQ·CP＝－2，则λ等于(

) 124A.

B.

C.

D．2 333答案

B →→→→→→→→→→解析

BQ＝AQ－AB＝(1－λ)AC－AB，CP＝AP－AC＝λAB－AC，

2→→→→BQ·CP＝(λ－1)AC2－λAB2＝4(λ－1)－λ＝3λ－4＝－2，即λ＝.

3→→5．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在CD上，若AB·AF→→＝2，则AE·BF的值是(

) A.2

B．2

C．0

D．1 答案

A →→→→→→→→→2→→→→解析

依题意得AE·BF＝(AB＋BE)·(AF－AB)＝AB·AF－AB＋BE·AF－BE·AB＝2－2＋1×2－0＝2，故选A. 6．已知a，b是两个互相垂直的单位向量，且c·a＝1，c·b＝1，|c|＝2，对任意的正实数t，1c＋ta＋b的最小值是(

) 则tA．2

B．22

C．4

D．42 答案

B 112122c＋ta＋b2＝c2＋t2a2＋2b2＋2ta·解析

∵c＋c·b＋2a·b＝2＋t＋2＋2t＋≥2＋2ttttt＋21t2·2t1212c＋ta＋b的最小2t·＝8(t＞0)，当且仅当t2＝2，2t＝，即t＝1时等号成立，所以tttt值为22. →→→→→→7．在△ABC中，若OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的________(填“重心”、“垂心”、“内心”、“外心”)．

答案

垂心

→→→→→→→解析

∵OA·OB＝OB·OC，∴OB·(OA－OC)＝0，

→→∴OB·CA＝0，∴OB⊥CA，即OB为△ABC底边CA上的高所在直线．

→→→→同理OA·BC＝0，OC·AB＝0，故O是△ABC的垂心．

→→→8．如图，在△ABC中，O为BC中点，若AB＝1，AC＝3，〈AB，AC〉＝60°，则|OA|＝________. 答案

13

25

13→→→→→→→1→解析

因为〈AB，AC〉＝60°，所以AB·AC＝|AB|·|AC|cos 60°＝1×3×＝，又AO＝(AB＋2221→→1→13→→→→→2→1→AC)，所以AO2＝(AB＋AC)2＝(AB2＋2AB·AC＋AC)，所以AO2＝(1＋3＋9)＝，所以|OA4444|＝13. 2→→→→→9．单位圆上三点A，B，C满足OA＋OB＋OC＝0，则向量OA，OB的夹角为________．

答案

120°

解析

∵A，B，C为单位圆上三点，∴|OA→|＝|OB→|＝|OC→|＝1，

又∵OA→＋OB→＋OC→＝0.∴－OC→＝OB→＋OA→. ∴OC→2＝(OB→＋OA→)2＝OB→2＋OA→2＋2OB→·OA→，可得cos〈OA→，OB→〉＝－12. ∴向量OA→，OB→的夹角为120°. 10．设点O是△ABC的外心，AB＝13，AC＝12，则BC→·AO→＝________. 答案

－252

解析

设{AB→，AC→}为平面内一组基底．如图所示，O为△ABC的外心，设M为BC中点，连接OM、AM、OA，

则易知OM⊥BC. 又AO→＝AM→＋MO→，∴BC→·AO→＝BC→·(AM→＋MO→)＝BC→·AM→＋BC→·MO→

＝BC→·AM→(其中BC→·MO→＝0)＝(AC→－AB→)·12(AB→＋AC→) ＝12(AC→2－AB→2)＝1252×(122－132)＝－2.

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