3.1.2 导数的概念名师教学设计2

第三章

导数及其应用

3.1 变化率与导数

3.1.2导数的概念教学设计

教师——严雪莉

一、教学目标：

1、了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；

2、理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵

;

3、会求函数在某点的导数. 二、教学重点和难点：

教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念

教学难点：导数的概念

三、教法和学法：

1、通过自主与合作交流的系列探究活动，感知用平均变化率刻划瞬时变化率研究方法——无限地接近．

2、通过从实例——速度——变化率的抽象过程，培养学生观察、分析、比较、归纳与类比能力，体验从特殊到一般的研究问题方法．

四、情感、态度和价值观

（1）感受导数在解决实际问题中的作用，体会导数思想的作用与价值．

（2）通过导数概念形成的系列探究活动，进一步认识合作学习的意义，增强学生的合作交流意识与能力．

五、学情分析：

学生已较好地掌握了函数的平均变化率及高一物理学中的平均速度、瞬时速度，并积累了大量的关于函数变化率的经验；另外，高二年级的学生思维较活跃，并具有一定归纳、概括、类比、抽象思维能力；对导数这一新鲜的概念，具有强烈求知欲和渴望探究的积极情感态度，这为本课的学习奠定了基础．

由于瞬时变化率就是导数，又是用平均变化率“无限接近”进行研究，而“无限”是非常抽象的，是学生首次接触，要求学生既要具备一定的直观感悟能力，又要具有较高的抽象思维能力，这是本节学习必备的认知基础．

六、教学策略分析：

教学中遵循“学生为主体，教师为主导，训练为主线，发展思维为主旨”的“四主”原则．以恰当的系列活动为纽带，给学生创设自主探究、合作交流的时间与空间，引导学生经历数学知识再发现的过程，让学生在参与中获取知识，发展思维，感悟数学．

强化对平均变化率的认识，夯实认知基础．增加实例，多模型、多角度感悟让学生用平均变化率的无限逼近刻划瞬时变化率的的思想方法．在知识内容的处理方面，淡化了较难理解的极限思想，不追求严格形式化，突出以直观的方式让学生体验无限逼近的思想方法．

七：教学过程：

（一）复习

1、平均变化率概念：f(x2)f(x1)称为函数f(x)从x1到

x2的平均变化率

x2x1

2、平均变化率的几何意义：表示某一点的割线斜率

3、平均变化率求法：

1）求增量：xx2x1

yf(x2)f(x1)

2）求平均变化率yf(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)

xx2x1x（二）问题导入：

探究：高台跳水问题

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? 探究问题：

65计算：运动员在

0t

49这段时间内的平均速度，并思考下面的问题：

1）运动员在这段时间里是静止的吗？

2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

65hh()h(0)10

v0

49t平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。

2、瞬时速度：我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，时的瞬时速度是多少？考察t=2时附近的情况：如下图所示

（三）新课讲解：

1、定义：

函数y = f (x)

在

x = x0 处的瞬时变化率是limx0f(x0Δx)f(x0) 

ylim

x0

x

x称为函数

y = f (x) 在

x = x0 处的导数, 记作f(x0)或y|xx0

即f(x0)limf(x0Δx)f(x0) .



xx02、由导数的定义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤是：

1）求函数的增量：

yfx0xfx0

2）求平均变化率

yxfx0xfxx03）取极限,得导数

fx0

3、例题讲解

例1：求函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数．

ΔyΔy

【思路点拨】

求Δy→求→求lim

ΔxΔx→0Δx

【解】

Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)

＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx

2

＝2(Δx)＋16Δx，

2

∴Δy＝2Δx＋16Δx＝2Δx＋16. ΔxΔx

Δy

∴y′|x＝3＝lim

＝lim

(2Δx＋16)＝16.

Δx→0ΔxΔx→0

ylimx0xΔy【点评】

利用导数的定义求导数，“三步法”的模式是固定的，关键是要注意在求时，Δx分式的通分、无理式的分子有理化等常用技巧的使用．

例2、求函数f(x)=x2+x,求y’|x=2

练习1：求y=x2在x=1处的导数

4、典例分析：

1例3：用导数定义求出y=（fx）=在x=0处导数.

x+1

例4：若函数f(x)在x=a处导数为A，

求f(a+x)-f(a-xlim)x0x

5、回顾总结，反思提高

求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是: (1)求函数的增量yf(x0x)f(x0);

(2)求平均变化率yxf(x0x)f(x0)x;

(3)取极限，得导数

f(x)y0limx0x.

总结起来就是：一差、二比、三极限

6、课后作业：

①．一物体的运动方程是s＝12at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是(

A．at0

B．－at0

C．12at0

D．2at0

②已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝32处的瞬时变化率是(

) A．3

B．－3 C．2

D．－2 ③．已知函数f(x)在x＝a处的导数为b，

求fa＋4Δx－fa＋5ΔxΔlimx→0

Δx的值．

)