3.1.3 导数的几何意义优质课教案设计

3.1.3

导数的几何意义

遂溪县大成中学

杨凤珠

2018.5 一、学习目标

1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义. 2.会求简单函数的导函数. 3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 二、教学过程

课堂讨论

.甲、乙二人跑步的路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间关系分别如图①②，

试问：（1）甲、乙二人哪一个跑得快？（2）甲、乙二人百米赛跑，问快到终点时，谁跑得较快？

探究1

如图，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？

答

当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．

探究2

曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？

答

不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．

复习1

.割线斜率与切线斜率

设函数y＝f(x)的图象如下所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，Δyfx0＋Δx－fx0此割线的斜率是＝. ΔxΔx

新知1

当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝lim

→Δx0fx0＋Δx－fx0. Δx

新知2．导数的几何意义

函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

分组讨论

请结合导数的几何意义，求f(x)x2x在x1

的切线方程。

例1

如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象．根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t0，t1，t2附近的变化情况．

解

我们用曲线h(t)在t0，t1，t2处的切线，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况．

(1)当t＝t0时，曲线h(t)在t0处的切线l0平行于t轴．所以，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降．

(2)当t＝t1时，曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率h′(t1)<0.所以，在t＝t1附近曲线下降，即函数h(t)在t＝t1附近单调递减．

(3)当t＝t2时，曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h′(t2)<0.所以，在t＝t2附近曲线下降，即函数h(t)在t＝t2附近也单调递减．

从图中可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢．

反思与感悟

导数与函数图象升降的关系：

若函数y＝f(x)在x＝x0处的导数存在且f′(x0)>0(即切线的斜率大于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是上升的；若f′(x0)<0(即切线的斜率小于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是下降的．导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢．

练习1

若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是(

)

答案

A 解析

依题意，y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足．

11例2 求曲线y＝在点3，3处的切线的斜率，并写出切线方程．

x分析：利用导数的几何意义求斜率，然后用点斜式写出直线方程．

课堂反馈练习

11.函数f(x)＝在x＝1处的导数是__________．

x2.若曲线y = f (x)在点(x0, f (x0))处的切线方程是y=-2x-7,则f(x0)=________________. 3函数y＝x2在点P(x0，y0)处的切线的斜率为2，则x0等于__________．

4.

求曲线y3x2在点(1,3)处的切线方程. 5.已知抛物线y=2x2+1，求其上哪一点处的切线垂直于直线x+8y-3=0。

课堂小结

一、数学知识：导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，

即k＝lim

→Δx0fx0＋Δx－fx0＝f′(x0)。

Δx二、数学思想：极限的思想。