3.1.3 导数的几何意义ppt课件教学实录

导数的几何意义教学设计

【教学目标】

知识与技能目标：

本节的中心任务是研究导数的几何意义及其应用，概念的形成分为三个层次：

(1) 通过复习旧知“求导数的两个步骤”以及“平均变化率与割线斜率的关系”，解决了平均变化率的几何意义后，明确探究导数的几何意义可以依据导数概念的形成寻求解决问题的途径。

(2) 借助两个类比的动画，从圆中割线和切线的变化联系，推广到一般曲线中用割线逼近的方法直观定义切线。

(3) 依据割线与切线的变化联系，数形结合探究函数f(x)在xx0处的导数f(x0)的几何意义，使学生认识到导数f(x0)就是函数f(x)的图象在xx0处的切线的斜率。即：

f/x0limx0fx0xf(x0)＝曲线在xx0处切线的斜率

x在此基础上，通过例题和练习使学生学会利用导数的几何意义解释实际生活问题，加深对导数内涵的理解。在学习过程中感受逼近的思想方法，了解“以直代曲”的数学思想方法。

过程与方法目标：

(1) 学生通过观察感知、动手探究，培养学生的动手和感知发现的能力。 (2) 学生通过对圆的切线和割线联系的认识，再类比探索一般曲线的情况，完善对切线的认知，感受逼近的思想，体会相切是种局部性质的本质，有助于数学思维能力的提高。

(3) 结合分层的探究问题和分层练习，期望各种层次的学生都可以凭借自己的能力尽力走在教师的前面，独立解决问题和发现新知、应用新知。

情感、态度、价值观：

(1) 通过在探究过程中渗透逼近和以直代曲思想，使学生了解近似与精确间的辨证关系；通过有限来认识无限，体验数学中转化思想的意义和价值；

(2) 在教学中向他们提供充分的从事数学活动的机会，如：探究活动，让学生自主探究新知，例题则采用练在讲之前，讲在关键处。在活动中激发学生的学习潜能，促进他们真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验，提高综合能力，学会学习，进一步在意志力、自信心、理性精神等情感与态度方面得到良好的发展。

【教学重点与难点】

重点：理解和掌握切线的新定义、导数的几何意义及应用于解决实际问题，体会数形结合、以直代曲的思想方法。

1

难点：发现、理解及应用导数的几何意义。

【教学方法】

《新课程标准》的理念是“向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能，数学思想和方法”。。

【学法指导】

通过设计环环相扣的思考问题，引导学生主动地参与探究活动，体验学习的乐趣，教师在这个过程中不打断学生的思路，学生可以根据学案超前完成活动，期望有能力的学生走在老师的前面，同时，学生也可以根据需要寻求老师和同学的帮助，以更好地在课堂上完成学习任务。

【数学知识线索】

数：

形：

平均变化率

数形结合

瞬时变化率

导

数

应

用

割线的斜率

类

比

切线的斜率

导数的几何意义

函数的增减性

割

线

逼

近

切

线

【教学流程】

复习旧知，自然引出研究问题动画类比、知识迁移，获得切线新定义

数形结合，学生探索获得导数的几何意义

通过例题和练习，巩固知识，加深对导数的认识

【教学过程】

教

学

过

程

一、创设情境、导入新课

1.回顾旧知、引出研究的问题：

前面我们学习了函数在xx0处的导数f(x0)就是函数在该点处的瞬时变化率。那．．．．．么：

问：(1) 求导数f(x0)的步骤有哪几步?

老师引导学生回忆联系本节课的旧知识，下面探究导数的几何意义也是依据导数概念的形成，寻求解决问题的途径。

2 设

计

意

图

生：第一步：求平均变化率yfx0xf(x0)；

xxfxxf(x0)第二步：求瞬时变化率f(x0)lim0. x0x（即x0，平均变化率趋近于的确定常数就是该点导数）

．．．．．．．．yfx0xf(x0)

在图形中表xx教师板书，便于学生数形结合探究导数的几何意义。

突破平均变化率的几何意义，后面在表示割线斜率时能直接联系此知识。同时引出本节课的研究问题——导数几何意义是什么？

(2)观察函数yf(x)的图象，平均变化率示什么？

生：平均变化率表示的是割线PPn的斜率. 师：这就是平均变化率(．．．．．．yy)的几何意义，那么瞬时变化率()在图中又表示（复习引入

用时约3分lim．．．．．．x0xx钟）

什么呢？今天我们就来探究导数的几何意义。

二、引导探究、获得新知

1.动画类比，得到切线的新定义

要研究导数的几何意义，结合导数的概念，即要探究x0，割线的变化趋．．．．．．势，看下图。

．圆上点A处的切线AT和割线AB，当点B从右边沿

着圆逼近点A ,然后再从左边沿着圆逼近点A ，即x0，

割线AB的变化趋势。

教师引导学生观察割线与切线是否有某种内在联系呢？

生：先感知后发现，当x0，随着点B沿着圆逼近点A，割线AB无限趋近于点A处的切线。

◆把割线逼近切线的结论从圆推广到一般曲线，可得：

带着问题观察图形，借助熟悉的圆中的某点处的割线和切线，学生更易感知当x0，割线的变化趋势。

用逼近的方法体会割线逼近切线，消除学生对极限的神秘感。

肯定学生的研究结果，并引导学生把这种由割线逼近的方法得到切线推广到一般曲线，并由此得出割线的变化趋势，为研究几何意义做好铺垫。

以求导数的两个步骤．．．．．．．．为依据，从平均变化率的．．．几何意义入手探索导数的几何意义，抓住x0的联系，在图形上从割线入手来研究问题。

(x0x,f(x0x))沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时，割线教材上点PnPPn的变化趋势图。

师：类比，当点Pn(x0x,f(x0x))沿着曲线f(x)趋近于点

P(x0,f(x0))时，即x0，研究割线PPn的变化趋势。

学生观察，类比得出一般曲线的切线定义：

f(x)逼近点P(x0,f(x0))时，即当点Pn(x0x,f(x0x))沿着曲线

3

x0，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置上的直线PT称为点P处的切

线。

突破研究的难点：x0，割线PPn点P处的切线

那么：x0，割线的斜率？与导数f(x0)又有何关系呢？

2.数形结合，探究导数的几何意义

结合图像的变化过程，学生思考下面的问题，探究导数的几何意义。

【探究一(A)】

1.已知曲线上两点P(x0,f(x0)),P：

n(x0x,f(x0x))(1)根据切线定义可知：x0，割线PPn趋近于切线PT

。那么割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k又有何关系？

生： 当x0,则

knk,

通过两个思考问题：（1）先解决割线斜率与切线斜率的关系，（2）再对照平均变化率与瞬时变化率的关系，自然得出切线的斜率对应该点处的瞬时变化率即导数。

斜率对应平均变化率，那么切线的斜率对应什么？

生：切线的斜率对应该点处的瞬时变化率，即该点处的导数。

2.结合上面的研究过程，你能指出导数f(x0)的几何意义吗？

生：函数f(x)在xx0处的导数就是曲线在该点处的切线斜率k，即：（A）组题要求学生结合图形直观感知，找到联系得出导数的几何意义。增加了铺垫问题为学生引导思路。便于学生较好地完成探索活动，主动获得知识。

优生可以选择(B)组题，感知联系，运用数形结合的方法研究数值表示。从直观感知到数式研究相对照，有利于大多数学生主动建构知识，进而得出导数的几何意义。

4 类比两个动画，探索一般曲线中的切线定义，让不同程度的学生都能借助直观的图象感知和发现，得出：x0，割线逼近该点处的切

即klimkn x0(2)对比“x0时，平均变化率趋近的确定常数就是瞬时变化率”，又割线的klimx0fx0xf(x0)f(x0)

x【探究一(B)】

1.已知曲线上两点P(x0,f(x0)),P，求：

n(x0x,f(x0x))(1)结合两点坐标，割线PPn的斜率kn可表示为什么？

生：knfx0xf(x0)

x(2)结合x0，割线PPn→切线PT，则切线PT的斜率k可表

示为什么？

生：klimfx0xf(x0) x0x2.你能发现导数的几何意义吗？

生：函数f(x)在xx0处的导数就是曲线在该点处的切线斜率k，即：klim

x0fx0xf(x0)f(x0)

x

3.在上面的研究过程中，某点处的割线斜率与切线斜率与某点附近的平均变化率和瞬时变化率有何联系？

要求学生善于归纳和总结并深入体会知识间的联系。

瞬时变化率

生：

平均变化率切线的斜率

割线的斜率四、知识应用、巩固理解

例1.x0x0

突破导数的几何意义这个学习重点。

通过将曲线一点处的局部“放大、放大、再放大”的直观方法，形象而逼真地再现“以直代曲”思想。

渗透用导数的几何意义研究函数的增减性

求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程

138x上一点P(2,)，求：

33(1)点P处的切线的斜率；（2）点P处的切线方程练习：已知曲线y=例题变式1：函数y3x2上有一点(x0,y0)，求该点处的导数f(x0)，并由此解释函数的增减情况。

f(x0x)f(x0)解：f(x0)limx0x

3(x0x)2(3x02)lim3x0x函数在定义域上任意点处的瞬时变化率都是3，函数在定义域内单调递增。(此时任意点处的切线就是直线本身，斜率就是变化率) 讲解课本例题2、例3

六、归纳总结、深化认识

这节课我们学习了哪些知识和方法？

学生进行开放式小结：（回顾学习的两个知识和数学思想方法）

(1)切线的定义：当点P沿着曲线f(x)逼近点P(x0,f(x0))n(x0x,f(x0x))时，即x0，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置上的直线PT称为点P处的切线。

(2)函数f(x)在xx0处的导数f(x0)的几何意义就是函数f(x)的图象在

剩余2分钟左右时间给学生总结本节课学习的知识和数学方法，教师投影进行补充，便于课后进行查漏补缺.

xx0处的切线的斜率。

数学思想方法：体会“数形结合”的思想方法、逼近的思想方法、“以直代曲”的思想方法。

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课后反思：

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