1.1.1 命题名师教学视频（文字实录）

1．1命题及其关系

1．1.1

命题

●三维目标

1.知识与技能

理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式．

2．过程与方法

多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．

3．情感、态度与价值观

通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣．

●重点、难点

重点：命题的概念、命题的构成．

难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假．

课标1.了解命题的概念及构成．(重点) 解2．会判断命题的真假．(难点、易错点)

读

命题的概念

【问题导思】

1．给出下列语句：

①若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；

②2＋4＝7；

③垂直于同一条直线的两个平面平行；

④3能被2整除．

请你找出上述语句的特点．

【提示】

上述语句有两个特点：①都是陈述句；②能够判断真假．

2．命题有哪些表达形式，疑问句、祈使句、感叹句能否作为命题？

【提示】

命题的表达形式有语言、符号或式子；疑问句、祈使句、感叹句不能作为命题，它们不符合命题必须是陈述句的特点．

1．定义

在数学中，把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命

题．

2．分类

①真命题：判断为真的语句叫做真命题；②假命题：判断为假的语句叫做假命题.

命题的形式

【问题导思】

1．“同位角相等”是命题吗？如果是命题，是真命题还是假命题？

【提示】

是命题，为假命题．

2．你能把“同位角相等”写成“若……，则……”的形式吗？

【提示】

若两个角为同位角，则这两个角相等．

命题的形式：“若p，则q”，其中

命题的条件是p，结论是q.

命题的判断

判断下列语句是否为命题，并说明理由．

(1)x－2＞0；

(2)梯形是不是平面图形呢？

(3)若a与b是无理数，则ab是无理数；

(4)这盆花长得太好了！

(5)若x＜2，则x＜3. 【思路探究】

(1)这些语句是陈述句吗？(2)你能判断它们的真假吗？

【自主解答】

(1)不是命题，因为变量x的值没有给定，不能判断真假．

(2)不是命题，疑问句不是命题．

(3)是命题，因为此语句是陈述句且是假的．(反例a＝b＝2) (4)不是命题，感叹句不是命题．

(5)是命题，因为此语句是陈述句且是真的．

判断一个语句是否为命题的步骤：

(1)语句格式是否为陈述句，只有陈述句才有可能是命题．

(2)该语句能否判断真假，语句叙述的内容是否与客观实际相符，是否符合已学过的公理、定理，是明确的，不能模棱两可．

判断下列语句是否为命题，并说明

理由．

(1)一条直线l，与平面α不是平行就是相交；

(2)若xy＝1，则x，y互为倒数；

(3)作△ABC∽△A′B′C′. 【解】

(1)是命题．直线l与平面α有相交、平行、l在平面α内三种关系，为假．

(2)是命题．因xy＝1时，x，y互为倒数，为真．

(3)不是命题，祈使句不是命题. 命题真假的判

定

判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．

(1)函数y＝sinx－cosx的最小正周期是π；

(2)若x＝4，则2x＋1＜0；

(3)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；

(4)求证：x∈R时，方程x－x＋2＝0无实根．

【思路探究】

命题语句――→定义244判定是否证明举反例――――――→

是命题

真假命题

【自主解答】

(1)(2)(3)是命题，(4)不是命题．

命题(1)中，y＝sinx－cosx＝sinx442

－cosx＝－cos 2x，显然其最小正周期为π，为真命题．

命题(2)中，当x＝4,2x＋1＞0，是假命题．

命题(3)中，当等比数列的首项a1＜0，公比q＞1时，该数列为递减数列，是假命题．

(4)是一个祈使句，没有作出判断，不是命题．

真假命题的判定方法：

(1)真命题的判定方法：

真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程．判断命题2

为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法．

(2)假命题的判定方法：

通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．

判断下列命题的真假．

(1)若a⊥b，则a·b＝0；

(2)2是无限循环小数；

(3)三角形的三条中线交于一点；

(4)常数列是等比数列；

11(5)若a＞b，则a＜b. 【解】

(1)是真命题，(2)假命题，

(3)真命题，(4)假命题，(5)假命题. 命题的形式及改

写

把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．

(1)两个周长相等的三角形面积相等；

(2)已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；

(3)当m＞1时，x－2x＋m＝0无实根；

(4)当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0. 【思路探究】

(1)这些命题的条件与结论分别是什么？

2

(2)第2小题中大前提“已知x、y为正整数”该怎样处理？

【自主解答】

(1)若两个三角形周长相等，则这两个三角形面积相等，假命题；

(2)已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2，假命题；

(3)若m＞1，则x－2x＋m＝0无实根，真命题；

(4)若abc＝0，则a＝0且b＝0且c＝0，假命题．

1．解决本例问题的关键是找准命题的条件和结论，进而化成“若p，则q”的形式．

2

2．对于命题的大前提，应当写在前面，不要写在条件中；对于改写时语句不通顺的情况，要适当补充使语句顺畅．

把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．

(1)奇数不能被2整除；

(2)当(a－1)＋(b－1)＝0时，a＝b＝1；

(3)两个相似三角形是全等三角形；

(4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行．

【解】

(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题；

(2)若(a－1)＋(b－1)＝0，则a＝b2222

＝1，是真命题；

(3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题．

(4)在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行，是假命题.

因知识欠缺，导致对命题真假判断失误

判断下列命题的真假．

11(1)若a＞b，则a＜b；

(2)x＝1是方程(x－1)(x－2)＝0的一个根．

【错解】

(1)真命题．

(2)假命题．

【错因分析】

(1)误认为“两数比较大小时，大数的倒数反而小”，而忽视a、b的条件，当a＞0，b＜0时，a＞11b但a＞b. (2)因为方程的根为x＝1或x＝2，解题时误认为x＝1不全面，而没有分析清逻辑关系．

【防范措施】

平时学习时一定要对每一个基础知识理解透彻．

【正解】

(1)假命题．

(2)真命题．

1．判断一个语句是否是命题要注意两点：

(1)是不是陈述句；

(2)能否判断真假．

2．命题的真假判断要结合已有知识，进行严格的逻辑推理，对于描述较为简洁的命题可以分清条件和结论后改写成“若p，则q”的形式再加以判断.

1．下列语句中是命题的是(

) πA.2是无限不循环小数

B．3x≤5 C．什么是“温室效应”

D．《非常学案》真好呀！

【解析】

疑问句和祈使句不是命

题，C、D不是命题，对于B无法判断真假，只有A是命题．

【答案】

A 2．下列命题中是假命题的是(

) A．5是15的约数

B．对任意实数x，有x＜0 C．对顶角相等

奇数

【解析】

对任意实数x，有x≥0，所以B为假命题．A、C、D均为真命题．

【答案】

B 3．把命题“垂直于同一平面的两条直线互相平行”改写成“若p，则q”的形式为________．

【答案】

若两条直线都垂直于同22D．0不是

一个平面，则这两条直线互相平行

4．判断下列语句是否为命题，并判断它们的真假．

①若a，b，c，d∈R，a＝c且b＝d，则a＋b＝c＋d. ②空集是任何集合的子集．

③函数y＝cos x的最小正周期是π吗？

④在等比数列{an}中，若公比q＞1，则数列{an}是递增数列．

⑤求证：若x∈R，则x－x＋1＞0. 2

【解】

①是命题，且是真命题；②是命题，且是真命题；③是疑问句，不是命题；④是命题，且是假命题．如数列－1，－2，－4，－8，…为递减数列；⑤是祈使句，不是命题.

一、选择题

1．下列语句不是命题的有(

) ①若a＞b，b＞c，则a＞c；②x＞2；③3＜7；④函数y＝a(a＞0，且a≠1)在R上是增函数．

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

【解析】

①③④是可以判断真假的陈述句，是命题；②不能判断真假，不是命题．

x

【答案】

B 2．命题“6的倍数既能被2整除，也能被3整除”的结论是(

) A．这个数能被2整除

B．这个数能被3整除

C．这个数既能被2整除，也能被3整除

D．这个数是6的倍数

【解析】

“若p，则q”的形式：若一个数是6的倍数，则这个数既能被2整除，也能被3整除．

【答案】

C 3．下列命题为假命题的是(

) A．log24＝2

πB．直线x＝0的倾斜角是2

C．若|a|＝|b|，则a＝b

D．若直线a⊥平面α，直线a⊥平面β，则α∥β

【解析】

由|a|＝|b|只是得到a与b的模相等，但方向不确定，∴a与b不一定相等．

【答案】

C 4．给出命题：方程x＋ax＋1＝0没有实数根，则使该命题为真命题的a的一个值可以是(

) A．4 C．0 B．2

D．－3 2【解析】

方程无实根应满足Δ＝

a－4＜0即a＜4，故当a＝0时适合条件．

【答案】

C 5．有下列命题：

①若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；②若a＞b，则a＋c＞b＋c；③矩形的对角线互相垂直．

其中真命题共有(

) A．0个

C．2个

B．1个

D．3个

22【解析】

①由x·y＝0得到x＝0或y＝0，

所以|x|＋|y|＝0不正确，是假命题；

②当a＞b时，有a＋c＞b＋c成立，正确，所以是真命题；

③矩形的对角线不一定垂直，不正确．是假命题．

【答案】

B 二、填空题

6．把“正弦函数是周期函数”写成“若p，则q”的形式是________．

【答案】

若函数为正弦函数，则此函数是周期函数

17．如果命题“若x∈A，则x＋x≥2”为真命题，则集合A可以是________．(写出一个即可) 1【解析】

当x＞0时，有x＋x≥2，故A可以为{x|x＞0}．

【答案】

{x|x＞0}

8．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数，②平行四边形是梯形，③若a＞b，则ac＞bc，④若x、y互为相反数，则x＋y＝0，其中真命题为________．

【解析】

①是真命题，②平行四边形不是梯形，假命题，③若a＞b，则ac≥bc，故为假命题，④为真命题．

【答案】

①④

三、解答题

9．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假：

(1)实数的平方是非负数；

(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；

(3)当ac＞bc时，a＞b；

2222

(4)角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

【解】

(1)若一个数是实数，则它的平方是非负数，真命题．

(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形，假命题．

(3)若ac＞bc，则a＞b，假命题．

(4)若一个点是一个角的平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等，真命题．

10．判断下列命题的真假并说明理由．

(1)合数一定是偶数；

(2)若ab＞0，且a＋b＞0，则a＞0且b＞0；

12(3)若m＞4，则方程mx－x＋1＝0无实根．

【解】

(1)假命题．例如9是合数，但不是偶数．

(2)真命题．因为ab＞0，则a、b同号．

又a＋b＞0故a、b不能同负，

故a、b只能同正，即a＞0且b＞0. 1(3)真命题．因为当m＞4时，Δ＝1－4m＜0；

∴方程无实根．

11．若命题“ax－2ax－3＞0不成立”是真命题，求实数a的取值范围．

【解】

因为ax－2ax－3＞0不成22

立，

所以ax－2ax－3≤0恒成立．

(1)当a＝0时，－3≤0成立；

(2)当a≠0之得－3≤a＜0. 由(1)(2)，得a的取值范围为[－3,0].

a＜0，时，应满足Δ≤0，2

解