一、圆锥曲线的光学性质及其应用教案和学案内容

椭圆中求三角形面积的最值问题 高三复习课

汕尾市陆河县陆河中学 李海波

一、教学内容分析

与圆锥曲线有关的最值问题，在近几年的高考试卷中频频出现，在各种题型中均有考查，其中以解答题为重点（2015年高考山东卷、浙江卷、上海卷、湖北卷都考查了这类问题）.椭圆作为最常见的一种圆锥曲线，与它有关的三角形（四边形可以分割成两个三角形）面积最值问题具有综合性强、涉及知识面广而且常含有变量的特点，是教学中的一个难点. 二、学生学习情况分析

高三的学生参与课堂教学活动的积极性很强，思维敏捷，敢于在课堂上发表自己的意见，但计算能力较高考要求还有差距，逻辑推理能力有待加强，数学语言的表达能力也略显不足. 三、设计思想

这节课内容综合性强、计算量大，容易使学生的学习陷入困境，降低学习热情.在教学中，我有意识的引导学生利用波利亚的一般解题方法处理这个问题，引导学生主动发现问题、解决问题，在主动参与教学的过程中形成解决问题的一般性方法.

四、教学目标

1.知识与技能

本节课所运用的主要知识是直线与椭圆的位置关系，将直线方程与椭圆方程联立消去一个字母后利用二次方程根与系数关系及弦长公式求弦长，结合平面几何知识来表示图形面积进而求最值.这些都是高中数学的核

心知识，也是代数与几何的融合，利用以上知识来解决与椭圆有关的面积最值问题也是解析几何中必备的基本技能。

2.过程与方法

通过师生共同经历对例题的分析与解答的过程，帮助学生形成解决与椭圆有关的面积最值问题的一般性方法，而双曲线和抛物线与椭圆有相似的结构和性质，因此我们可以将研究与椭圆有关的面积最值的方法迁移到其他圆锥曲线当中去，从而解决与圆锥曲线有关的面积最值问题. 3．情感态度与价值观

借助多媒体辅助教学,激发学习数学的兴趣.在民主、开放的课堂氛围中,培养学生敢想、敢说、勇于探索、发现、创新的精神.

五、教学重点

椭圆内三角形面积最值的求解过程

六、教学难点

如何选择恰当方法表示所求图形面积以及求最值

七、教学过程设计

由于这是一堂复习课, 加上我所任教的班级是基础较好的理科班，学生有较好的数学基础，学习积极性较高，领悟能力较好，所以在教学中,我拟采用师生共同参与的教学法：由教师提出问题，激发学生积极思考，引导他们运用已有的知识经验，共同来解决问题。此外，因为例题所包含的内容较多，文字解答过程信息量也较大，所以考虑利用多媒体来辅助教学，一方面能弥补在黑板上板演耗时多的不足，另一方面则可以让学生一边演示自己的“成果”，一边进行介绍说明，有利于激发更多的学生主动参与，真正让学生成为学习的主体。

教学预计时步骤

间（分）

教学内容

学生活动

教师活动

1 3 如图，点P(0，－1)是椭圆C1：＝1读题目，分析的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4题目给出的寻的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两已知条件，找已知和所条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2求之间的联交椭圆C1于另一点D．求△ABD面积取最系. 大值时直线l1的方程．

＋y2学生自主阅引导学生仔细审题，将题目中给出的条件及隐含的条件进行充分的挖掘.

2 3

分析1：本题中涉及的几何量有哪些?能否知条件，并尝养学生认真审代数表示? 几何量：

点：O(0,0),A,B,D,P. 线：互相垂直的两条直线l1和l2 。

图形：△ABD,椭圆C1：圆C2：x2＋y2＝4. 上述几何量的代数表示：

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．

由题意知直线l1的斜率存在，不妨设

其为k，则直线l1的方程为

y＝kx－1.又l2⊥l1，故直线l2的方程为

x＋ky＋k＝0.

＋y2

学生归纳已在此过程中培试着把它们用几何形式和代数形式表示出来.

题，善于归纳已知条件的习惯，并让学生从中体会到几何量用代数表示的必要性. ＝1,

3

5

学生思考应该如何来求圆和椭圆内（试问用公式S =|AB|·|PD|还是用S =弦长及用哪个公式来表|DA|·|DB|·sin∠ADB呢?）

示三角形的由点到直线距离公式得点O到直线l1的距面积. 分析2：

引导学生选择恰当的面积公式

离，圆C2：x2＋y2＝4的半径及O到直线l1的距离解直角三角形，得

在已经求得线段AB的长之后，只要再求出线段PD的长即可.

将椭圆方程和直线l2联立

消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，故.

将面积用式子表示出来是求最值的基础，提醒学生不要急于求成，要逐层推进，分段解题，而通过联立直线与曲线的方程及二次方程根与系数的关系来求两根的和与积，进而求得点的坐标或弦长是解析几何常用的方法，提醒学生要特别关注.

由弦长公式得|PD|＝

，

则

．

S＝

|AB|·|PD|＝4

3

＝分析3：求面积的最值

由S＝|AB|·|PD|＝

将三角形面积表示为关于k的分式，学生分组探究如何求分式的最值. 引导学生回想以前处理这类分式最值时用到的方法，提示学生可以考虑基本不等式或函数法. ≤，

可得，当且仅当时取等号．

所以所求直线l1的方程为

y＝

－1.

5

回想解决例总结解决这类形成一般性方法: 2

归面积最值问题（1）运算主线：通常以所设的直线的题的过程，纳所用到的的一般性方斜

率K为运算主线

知识和方法. 法，要求学生（2）解题关键：选择恰当的方法表示图能够掌握并能形的面积

够灵活应用. （3）求解最值：根据式子结构利用函数单调性或不等式求最值

自主探究、深化认识：（1分钟）

通过下面一道2015年的高考题对本节课的内容进行巩固与提高，以达到强化技能及形成方法的目的. x2【2015高考浙江，理19】

已知椭圆y21上两个不同的点，关于21直线ymx对称．

2（1）求实数的取值范围；

（2）求面积的最大值．

变式题设置的目的是为学生课外自主探究学***台，当然，如果课堂上时间允许的话，可借助“多媒体课件”，引导学生对自己的结论进行验证. 八、教学反思

本节课将借助于“

PPT课件”，利用一道例题及其变式,通过层层深入的探索,培养学生思维的深刻性、创造性、科学性、批判性,使学生从学会

一个问题的求解到掌握一类问题的解决方法,领略数学的统一美“电脑多媒.体课件”的介入，将使全体学生参与活动成为可能，同时，运用“多媒体课件”辅助教学，节省了板演的时间，从而给学生留出更多的时间自悟、自练、自查，充分发挥学生的主体作用，这充分显示出“多媒体课件”与探究合作式教学理念的有机结合的教学优势.基于以上考虑,本人期望在教学中能尝试使用“探究—合作”式教学模式进行教学.使学生们的“知识的获得过程”不再是简单的“师传生受”,而是让学生依据自己已有的知识和经验主动的加以建构.在这个建构过程中,学生应是教师主导下的主体,是知识的主动建构者.所设计的问题以及引导学生进行探究过程的发问,都力求做到“把问题定位在学生认知的最近发展区”.而在有限的时间内应突出重点,突破难点,给学生留有自主学习的空间和时间. 同时，教师所编导的教学活动应该随着整体环境的变化、学生群体的变更而变化.

总之,如何更好地选择符合学生具体情况,满足教学目标的例题与练习、灵活把握课堂教学节奏仍是我今后工作中的一个重要研究课题.而要能真正进行素质教育，培养学生的创新意识，自己首先必须更新观念——在教学中适度使用多媒体技术，让学生有参与教学实践的机会，能够使学生在学习新知识的同时，激发起求知的欲望，在寻求解决问题的办法的过程中获得自信和成功的体验，于不知不觉中改善了他们的思维品质，提高了数学思维能力。