阅读与思考 向量概念的推广与应用教案公开课一等奖

3.2 向量法求二面角（新授课）

班级：高二6班（理一） 教师：沈是艳

【设计思路】

《向量法求二面角》是高考的重点，本节课发挥教师的主导作用，突出学生的主导地位，结合本班学生学情，结合微专题“高中生规范答题习惯的培养”，在课堂上示范给学生规范解答，并给学生展示的空间，让学生熟练掌握向量法求二面角。

【学习目标】

1.通过预习案，复习巩固线线角，线面角的向量求法，同时复习二面角的概念及几何求法；

2.通过探究例1，能够用向量法求二面角的平面角；

3.通过训练案，能够熟练运用向量法求二面角。

【教材分析】

《向量法求二面角》选自人教A版数学选修2-1第三章第二节。求二面角在高考中出现频率非常高，立体几何大题第三问基本是求二面角，向量法求二面角提供了一种求二面角的新思路，更加容易的解决二面角的问题。

【学情分析】

学生层面：从认知角度上看，高二6班的学生已经比较熟练的掌握了平面的法向量的求法，已经会用向量法求异面直线所成角和线面所成角。从学习的情感态度上看，所有同学都愿意积极主动的学习，课堂氛围较好。

知识层面：本节课是学生在已经学习了空间向量，掌握了平面的法向量的求法，已经会用向量法求异面直线所成角和线面所成角后，通过探究发现二面角与法向量夹角的关系，利用向量法求二面角。

【学习重难点】

重点：用向量方法求二面角

难点：平面的法向量夹角与二面角的关系

1

【学法指导】

本节课是在学生已经学习了空间向量，掌握了平面的法向量的求法，已经会用向量法求异面直线所成角和线面所成角后的进一步学习，通过探究发现二面角与法向量夹角的关系，再通过精讲例题1，让学生掌握用向量法求二面角，并通过训练一更加熟练运用向量法求二面角。

【学习过程】

预习案

【复习回顾】

1.

异面直线所成角

(1)

范围：

(2)

向量求法：设两异面直线a、b所成角为，直线a、b的方向向量分别为a和b，则：

2.

直线与平面所成角：

(1)

范围：

(2)

向量求法：设直线a与平面所成角为，直线a的方向向量为a，平面的法向量为n，则：

3.

二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的 ，这两条射线所成的角叫做 。

范围： 4.

二面角的求法：

（1）几何法；

（2）射影面积法 ；（3）向量法： 5.

预习检测

如图，在三棱锥VABC中,VAVBACBC2,AB23,VC1,试作出二面角VABC的平面角,并求出它的度数.

设计意图：通过复习回顾相关知识点，为本节课的学习做准备。

2

探究案

探究一：二面角与法向量夹角的关系

设两平面、的法向量分别为n1和n2，n1,n2，则平面与平面所成角是多少？

设计意图：学生通过小组合作，找出二面角与法向量夹角的关系

探究二：用向量法求二面角

例1：如图，在四棱锥PABCD中，已知PA平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，ABCBAD2，PAAD2,ABBC1.求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值。

方法总结：

设计意图：探究向量法求二面角的过程（步骤）。通过教师精讲与规范答题示范，让学生掌握如何利用向量求二面角。同时让学生复述关键步骤。本题还可体现一题多解的思想（射影面积法，向量法都可以使用）。

训练案

1.

如图，已知四棱锥PABCD的底面是菱形，PA平面ABCD，ABC60，E、F分别是BC,PC的中点。PAAB2，求二面角EAFC的余弦值。

3

设计意图：训练1与探究二例题紧密结合，又是例题的拓展，本题建立空间直角坐标系比较“巧”（底面是菱形），难度比例题大，体现从易到难的思想。

建立不同的坐标系，过程会有所不同，但是做对该题的关键是正确建系和写出点的坐标。本题让学生到黑板展示，可以纠正学生不规范的地方。

2.

（选做）【2017全国1卷】如图所示，在四棱锥PABCD中，AB//CD，且BAPCDP90

(1)

证明：平面PAB平面PAD；

(2)

若PAPDABDC，APD90，求二面角APBC的余弦值.

设计意图：本题的目的是为了达到分层教学的效果，让大部分学生掌握基础题型，速度快的同学（主要是每个小组A1，A2学生），完成能力提升的选做部分。

当堂检测

1.

【2010重庆卷】

如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA底面ABCD，PAAB6，点E是棱PB的中点；若AD3，求二面角AECD的平面角的余弦值。

PDABC

设计意图：通过当堂检测，检测学生在课堂对知识的掌握

程度，能力较强的同学接着做训练案的选做题，

体现分层教学。

4

【板书设计】

笔记内容

例题：

图形 + 解答过程

解答过程

1. 2. 3. 学习目标

【复述内容】

1.

求二面角的方法：

（1）几何法

（2）射影面积法

（3）向量法

2. 向量法求二面角的基本步骤：

【教学流程】

复习导入

预习检测

小组合作及教师引导，探究解题原理

当堂检测

复述解题步骤

题型训练，学生展示，教师点讲。

例题精讲

课堂小结

5