习题2.1教案1

2.1 曲线与方程

一、选择题

2x1．已知两定点A(1,1)，B(－1，－1)，动点P满足→PA·→PB＝，则点P的轨迹是(

) 2A．圆 B．椭圆

C．双曲线 D．拋物线

112．已知点F，0，直线l：x＝－，点B是l上的动点．若过B垂直于y轴的直线与线段44BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(

)．

A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线

3．长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动，AC＝2CB，则点C的轨迹是(

) A．线段

C．椭圆

B．圆

D．双曲线

4．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为(

)．

4x24y2A.－＝1 21254x24y2C.－＝1 25214x24y2 B.＋＝1 2125

4x24y2 D.＋＝1 25215．已知二面角α－l－β的平面角为θ，点P在二面角内，PA⊥α，PB⊥β，A，B为垂足，且PA＝4，PB＝5，设A，B到棱l的距离分别为x，y，当θ变化时，点(x，y)的轨迹方程是(

) A．x2－y2＝9(x≥0)

B．x2－y2＝9(x≥0，y≥0)

C．y2－x2＝9(y≥0)

D．y2－x2＝9(x≥0，y≥0)

6．△ABC的顶点A(－5,0)、B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是(

) A.－＝1

916x2x2y2y2

B.

x216－＝1 9－＝1(x>4) 9y2C.－＝1(x>3) 916 D.x216y27．|y|－1＝1－x－12表示的曲线是(

)．

A．抛物线 C．两个圆 二、填空题

B．一个圆

D．两个半圆

8. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1,F2在 x轴上，离心率为2。2过l的直线

交于A,B两点，且ABF2的周长为16，那么C的方程为 。

aa9．在△ABC中，A为动点，B、C为定点，B－，0，C，0(a>0)，且满足条件sin C－sin 22B＝sin A，则动点A的轨迹方程是________．

10．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)、B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是____________．

12x2y211．已知P是椭圆2＋2＝1上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，OQ＝PF1＋ab→→→PF2，则动点Q的轨迹方程是______________．

12. 曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹，给出下列三个结论：

①曲线C过坐标原点；

②曲线C关于坐标原点对称；

1③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2. 2其中，所有正确结论的序号是________．

三、解答题

13.如图，已知F(1,0)，直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为点Q，且QP·QF

＝FP·FQ.求动点P的轨迹C的方程．

14．已知定点F(0,1)和直线l1：y＝－1，过定点F与直线l1相切的动圆的圆心为点C. (1)求动点C的轨迹方程；

→→(2)过点F的直线l2交轨迹于两点P、Q，交直线l1于点R，求RP·RQ的最小值．

15．已知双曲线－y2＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是双曲线上2不同的两个动点．

(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；

(2)若过点H(0，h)(h＞1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1⊥l2，求h的值．

x2

16．设椭圆方程为x＋＝1，过点M(0,1)的直线l交椭圆于A，B两点，O为坐标原点，点P4→→111满足OP＝(OA＋OB)，点N的坐标为，，当直线l绕点M旋转时，求：

222(1)动点P的轨迹方程；

→(2)|NP|的最大值，最小值．

1、解析 设点P(x，y)，则→PA＝(1－x,1－y)，→PB＝(－1－x，－1－y)，

所以→PA·→PB＝(1－x)(－1－x)＋(1－y)(－1－y)＝x2＋y2－2. 由已知x＋y－2＝，即＋＝1，所以点P的轨迹为椭圆．

242答案

B 2、解析

由已知：|MF|＝|MB|.由抛物线定义知，点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，故选D. 答案

D 3、解析

设C(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，则a2＋b2＝9，①

又AC＝2CB，所以(x－a，y)＝2(－x，b－y)，

222y2→x2x2y2a＝3x，即3b＝2y，

②

代入①式整理可得x＋＝1. 4答案 C 4、解析

M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，

∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为椭圆，

521222∴a＝，c＝1，则b＝a－c＝，

244x24y2∴椭圆的标准方程为＋＝1. 2521答案

D 5、解析 实际上就是求x，y所满足的一个等式，设平面PAB与二面角的棱的交点是C，则AC＝x，BC＝y，在两个直角三角形Rt△PAC，Rt△PBC中其斜边相等，根据勾股定理即可得到x，y所满足的关系式．如图，x2＋42＝y2＋52，

即x2－y2＝9(x≥0，y≥0)．

2y2

答案

B 6、解析

如图|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，

所以|CA|－|CB|＝8－2＝6. 根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，

实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x>3)．

916答案

C

x2y27、解析

|y|－1≥0原方程等价于1－x－y|－y|－222≥0＝1－x－2

2

|y|－1≥0⇔2＋x－y≥1⇔x－答案

D 二、填空题

＝12＋y－2＝1

y≤－1或x－2＋y＋＝1

8、答案

|AB||AC|1|BC|9、解析

由正弦定理：－＝×，

2R2R22R1∴|AB|－|AC|＝|BC|，且为双曲线右支．

2答案

16x216y2－2＝1(x>0且y≠0)

a23a10、解析

设抛物线焦点为F，过A、B、O作准线的垂线AA1、BB1、OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，∴|FA|＋|FB|＝4，故F点的轨迹是以A、

B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．

答案

＋＝1(y≠0)．

43→→→→→→→→→11、解析

由OQ＝PF1＋PF2，

又PF1＋PF2＝PM＝2PO＝－2OP，

→11设Q(x，y)，则OP＝－OQ＝－(x，y) 22x2y2yx－，－，

＝22yx－，－，又P在椭圆上，

即P点坐标为22x2－2y2－2则有a2＋b2x2y2＝1，即2＋2＝1. 4a4bx2y2答案

2＋2＝1 4a4b12、解析 ①曲线C经过原点，这点不难验证是错误的，如果经过原点，那么a＝1，与条件2不符；②曲线C关于原点对称，这点显然正确，如果在某点处|PF1||PF2|＝a，关于原点的对称点处也一定符合|PF1||PF2|＝a；③三角形的面积S△F1F2P2≤，很显2然

11a2S△F1F2P＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2≤|PF1||PF2|＝.所以②③正确．

222答案

②③

三、解答题

13、解析

法一：设点P(x，y)，则Q(－1，y)，

由QP·QF＝FP·FQ，得(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，化简得C：y2＝4x. 法二：由QP·QF＝FP·FQ，

得FQ·(PQ＋PF)＝0，∴(PQ－PF)·(PQ＋PF)＝0，

∴PQ2－PF2＝0.∴|PQ|＝|PF|. ∴点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为y2＝4x. 14、解析

(1)由题设知点C到点F的距离等于它到l1的距离，

∴点C的轨迹是以F为焦点，2a2

l1为准线的抛物线，

∴动点C的轨迹方程为x＝4y. (2)由题意知，直线l2方程可设为y＝kx＋1(k≠0)，

与抛物线方程联立消去y，得x2－4kx－4＝0. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4. 2又易得点R的坐标为－，－1，

k→22∴RP·RQ＝x1＋，y1＋1·x2＋，y2＋1

kk22＝x1＋x2＋＋(kx1＋2)(kx2＋2) kk42＝(1＋k2)x1x2＋＋2k(x1＋x2)＋2＋4 kk24＝－4(1＋k2)＋4k＋2k＋2＋4 kk21＝4k＋2＋8. k1∵k2＋2≥2，当且仅当k2＝1时取等号，

→2k→→→∴RP·RQ≥4×2＋8＝16，即RP·RQ的最小值为16. 15、解析

(1)由题设知|x1|＞2，A1(－2，0)，A2(2，0)，

则有直线A1P的方程为y＝直线A2Q的方程为y＝→y1x1＋2(x＋2)，①

－y1(x－2)．②

x1－222y1联立①②解得交点坐标为x＝，y＝，

x1x122y即x1＝，y1＝，③

xx则x≠0，|x|＜2. 而点P(x1，y1)在双曲线－y2＝1上，

2x2

∴x212－y21＝1. 将③代入上式，整理得所求轨迹E的方程为

x22＋y2＝1，x≠0且x≠±2. (2)设过点H(0，h)的直线为y＝kx＋h(h＞1)，

联立＋y2＝1得(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0. 2令Δ＝16k2h2－4(1＋2k2)(2h2－2)＝0得h2－1－2k2＝0，

解得k1＝

x2h2－12，k2＝

－h2－12. 由于l1⊥l2，则k1k2＝－h2－12＝－1，故h＝3. 过点A1，A2分别引直线l1，l2通过y轴上的点H(0，h)，且使l1⊥l2，因此A1H⊥A2H，

h由×－＝－1，得h＝2.此时，

22hl1，l2的方程分别为y＝x＋2与y＝－x＋2，

222222与，. 它们与轨迹E分别仅有一个交点－，3333所以，符合条件的h的值为3或2.

16、解析

(1)直线l过定点M(0,1)，设其斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1. y＝kx＋1，设A(x，y)，B(x，y)，由题意知，A、B的坐标满足方程组yx＋＝1.4211222

消去y得(4＋k2)x2＋2kx－3＝0. 则Δ＝4k2＋12(4＋k2)>0. 2k－3∴x1＋x2＝－，xx＝. 124＋k24＋k2→→1设P(x，y)是AB的中点，则OP＝(OA＋OB)，得

2→

1x＝21y＝2x1＋x2＝y1＋y2＝k4＋k122，＝4＋2k；4＋k22kx1＋1＋kx2＋

消去k得4x2＋y2－y＝0. 当斜率k不存在时，AB的中点是坐标原点，也满足这个方程，

故P点的轨迹方程为4x2＋y2－y＝0. 11(2)由(1)知4x2＋y－2＝

2411∴－≤x≤

441212x－y－

而|NP|＝＋222121－16x2＝x－＋

24127x＋＋，

＝－3612→121∴当x＝－时，|NP|取得最大值，

66→11当x＝时，|NP|取得最小值. 44