6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质优质课教学设计

课题：6.1（1）正弦函数和余弦函数的图像与性质

执教者：李霞

七宝中学高一16、17班

教材分析：《正弦函数和余弦函数的图像与性质》是沪教版高一第二学期第六章第一节的内容，其主要内容是正弦函数、余弦函数的图像及其性质。学生在上个学期已经学习了幂函数、指数函数和对数函数的图像及其性质，此前还学过三角比的各种恒等关系和三角函数线，在此基础上来学习绘制正弦函数余弦函数的图像，为正切函数的图像与性质、函数yAsin(wx)的图像的研究打好基础。因此，对三角比的研究重点从代数转化为几何，本节的学习有着极其重要的承上启下的作用。

学情分析：两个教学班均为新疆班，数学基础相对薄弱，独立探究，获取知识的能力不强。但是学生上课能积极参与教学活动，师生关系较好。学生已经学习三角比的概念，学习了三角函数线，从数、形两个方面了解过三角函数的概念。学习一种函数，必然要研究函数的图像和性质，图像是认识函数性质的一条有效途径。因此，在《三角比》的学习之后安排正弦、余弦函数图像教学，符合学生的认知规律。但对学生而言，是第一次接触这样一种具有周而复始现象的曲线，要成功作出正弦和余弦函数图像，挑战是非常大的。

教学目标：①会用单位圆中的正弦线画出正弦函数图像；

②掌握正、余弦函数图像的“五点作图法”；

③经历并体会勇于探索、勤于思考的精神；

④感悟数学当中数形之美，领悟数学转化的思想。

教学重点：用“五点作图法”画长度为一个周期的闭区间上的正弦函数图像。

教学难点：利用单位圆画正弦函数图像。

教学方法：根据上述教材分析和目标分析，贯彻探究教学原则，体现以教师为主导，学生为主体的教学思想，深化课堂教学改革，确定本课主要的教法为：

1、计算机辅助教学

借助多媒体教学手段，引导学生理解利用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图像，使问题变得直观，易于突破难点；利用多媒体向学生展示优美的函数图像，感悟数形之美。

2、探究式教学

让学生分组讨论、交流、总结，由小组成员代表发言，通过观察“正弦函数的几何作图法”的演示，说出函数ysinx,x[0,2]的图像中起着关键作用的点。

3、讲议结合教学

教师耐心引导、分析、讲解和提问，并及时对学生的意见进行肯定与评议。

4、分层教学

提问分层、评价分层、作业分层，注意面向全体学生，充分调动不同层次学生的积极性。

教学流程：引出研究主题——启发学生利用三角函数线绘制正弦函数图像——观察图像中的

关键点——绘制余弦函数的图像——观察图像得出函数基本性质——简单作图应用——小结

教学过程：

教学环节

师生活动

设计意图

首先开门见山，介绍今天要研究的主要内容。教师引导学生给出正弦函数和余弦函数的解析式和定义域，板书出这节课研究的两大主题，并引导学生从几何角度研究函数。通过弧度制引入的必要性，承接三角比知识。

解析式只是函数的一种代数表征，结合函数图像更易直观观察函数性质。

课间播放歌曲《海草舞》，师：这首歌大家都很熟悉了，舞姿是是学生表演过的曲目. 一、

新课引入

弧度制建立了三角中的角与实数的一一对应关系，那么对于每一个实数x都会有唯一确定的怎样的呢？

生（纷纷动起来）：像波浪一样。

师：今天我们就来研究形似波浪的正弦曲线，也就是正弦函数的图像与性质。

师：按照这种对应关系，我们可以建sinx(cosx)与它对应。立一种什么样的数学关系？

可以建立函数关系ysinx或那么按照这种对应关系，学生：我们可以建立一种什么样的数学关系？请同学加以描述。

者ycosx。

师：基于我们上学期对函数的研究，给出一个函数，应当指出它的？

学生：定义域！

师：（板书）我们将ysinx和ycosx分别叫做正弦函数和余弦函数，它们的定义域是？

学生：全体实数。

一、新课讲授

研究正余弦函数的性质是我们接下来一段时间的学习重点，研究函数性质，直观上，我们可以绘师：图像能够直观反映出函数性质，如何绘制函数图像呢？回顾一下，我们在三角比那一章学习时，提到过角的正弦值的几何描述是什么？

学生：三角函数线！

启发学生思考正弦函数线的代数含义，进而引导学生利用三角函数线刻画正弦函数图像上的点，以一个特例为先，从特殊到一般。

制函数图像。分组讨论，师：借助三角函数线，如何刻画绘制正弦函数图像应该ysinx的函数图像？以x6为

如何入手？

例，先作出学生：

的正弦线。

6再抛出问题，让学生自助讨论给出方案，描点作图。进而针对不同的方案进行讨论，找到最优方案。

师：按照上述方式，随着x的变化，我们就可以得到函数ysinx上的其他点。为了方便和尽可能精确，请同学们讨论一种方式，借助角的三角函数线，描点作出函数图像。

二、攻坚克难

在直角坐标系的x轴上任意取一点O1，以O1为圆心作单位圆，从圆O1与x轴的交点A起把圆O1分成12等份（份数宜取6的倍数，份数越多，画出的图像越精确），过圆O1上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于0、因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数ysinx在从特例出发再到一般情况，描点作图是学生熟悉的作图方法，这里通过平移函数线作图更精确标准，将线段长度转化为点的纵坐标，体现了数学简洁美和转化的思想。

通过课件演示突破利用单位圆画正弦函数图像这一难点。培养学生观察能力、分析能力。

注意渗透由抽象到具体的思想，促进学生数学思想方法的形成，引导学生确实掌握“数形结合”的思想方法。

x2k,2(k1),kZ,k0的图像与函数ysinx，x0,2的图像的形状完全一样，只是位置不同，于是只要将它向左右平移2个单位长度），就可以得到正弦函数、、、……、2632等角的正弦线，相应地，ysinx，xR的图像，即正弦函再把x轴上从0到2这一段（2≈6.28）分成12数图像，也称正弦曲线。

等份，把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合，再用光滑的曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到了函数ysinx，

x0,2的图像。

三、再创新高

本环节的教学旨在引导学生简化正弦函数图像的作图思路，引出五点法作图。

①

几何作图法虽然比较精确，但是不太实用，如何快捷地画出正弦函数的图像呢？

②

函数ysinx，教师首先列举一些图片，展示我们身边的正弦曲线，让学生熟悉正弦函数图像，再次引导学生思考，如何更快捷的做出正弦函数的图像？

x0,2的图像中起着关键作用的是哪些点？

③如何作余弦函数ycosx，x0,2的图像？

例1、用五点法做出函数图像中起关键作用的五点，学生可能说不全，应进行耐心引导。

让学生感受正弦函数的图像的形状。

“五点作图法”的一般步骤：列表、描点、连

线。应注意在图中标出关键点的横、纵坐标。

绘制余弦函数图像，

体现数学的代换思想。师：正弦函数图像存在于我们身边各也为下一步由基础正处，应用十分广泛，形似波浪。风吹弦曲线和余弦曲线进水面千层浪，一波未平一波又起。观行图像变换得到其他察我们已经做出的正弦曲线五个关函数图像打下基础。

键点：

y1sinx，的大致图

x[0,2]像.

3(0,0),(,1),(,0),(,1),(2,0)22事实上，描出这五个点，函数ysinx，x0,2的图像的形状就基本确定了。今后在精确度要求不太高时，常常先找出这五个关键点，用光滑曲线将它们连结起来即可得到函数的简图，我们把这种方法称为“五点作图法”。

课件演示：“正弦函数图像的五点作图法”

放手让学生独立思考，自主活动，通过自己的探究得出余弦曲线。实际上，只要学生能够想到正弦函数和余弦函数的内在联系

即cosxsin(2x)

通过图像变换，由正弦曲线得出余弦曲线的方法是比较容易想到的。

四、

性质总结

总结正弦函数、余弦函数的值域、

观察函数图像，总结函数性质：值域、最值和奇偶性。

五、应用提升

最值和奇偶性。

师：请用五点法做出练习1、2的函练习1、请用“五点法”数图像？

作出函数y2sin(2x)3的图像.练习2、作出函数1sinx的图像，2x[0,2]的图像，y并分别写出使y0与y0时x的取值范围.

六、

小结&作业

①

用单位圆中正弦线画出正弦函数图像；

②

“五点作图法” （注意五点的选取）和图像变换作图像；

③利用函数图像解决简单的值域问题。

板书设计：

正弦函数和余弦函数的图像与性质

教师提问学生，学生小结，教师进行补充。

作业：练习6.1（1）

学生上台板演，请别的学生做出评论，加以修正。

注意练习的讲解过程要适合不同层次的学生的要求。

提问学生，由学生小结，然后教师重新演示课件，进行总结和补充。

作业布置注意分层，满足不同层次学生的需要。

函数解析式

定义域

几何作图法演练

五点作图法详细过程

例题演练