正弦定理、余弦定理和解斜三角形教案教学设计导入整理

上海市南洋中学公开教学展示课

2019.4 课题：

三角的应用

执教者：余意 时间：2019年4月3日（周三下午第7节）

执教班级：

高三(5)班 地点：求实楼508 【教学目标】 1、能够运用三角知识建立与三角形相关的数学模型，能将真实情境转化为数学问题并能准确地加以表征、陈述过程。

2、通过解决三角形的有关实际应用问题，提高数学建模能力；能综合运用三角知识、基本不等式、函数思想等有序开展推理或运算，提高运算求解能力。

3、通过数学建模的过程，激发学生的数学学习兴趣，增强学生在实际生活中用数学的意识。

【教学重点】

准确地将条件转化到图形中，建立合适的数学模型并求解。

【教学难点】

根据实际问题建立数学模型，利用相关知识解决数学问题。

【教学媒体】PPT 【教学过程】

【引例】

如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30，看这栋高楼底部C的俯角为65，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为 米。（结果保留两位小数）

【例题精讲】

【例1】图1是某斜拉式大桥图片，为了了解桥的一些结构情况，学校数学兴趣小组将大桥的结构进行了简化，取其部分可抽象成图2所示的模型，其中桥塔AB、CD与桥面AC垂直，通过测量得知AB=50m，AC=50m。点P为兴趣小组测量点，当点P为AC中点时，BPD=45。

（1）求CD的长；

（2）试问P在线段AC的何处时，BPD达到最大。

。D

B

1 A

P

图2 C

图1

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2019.4 【例2】如图，湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的A点处，乙船在中间的B点处，丙船在最后面的C点处，且BC:AB3:1．一架无人机在空中的P点处对它们进行数据测量，在同一时刻测得APB300，BPC900．（船只与无人机的大小及其它因素忽略不计）

（1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；

（2）若此时甲、乙两船相距100米，求无人机到丙船的距离．（精确到1米）

【例3】如图所示，PAQ是某海湾旅游区的一角，其中PAQ120，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸AP和AQ上分别修建观光长廊AB和AC，其中AB是宽长廊，造价是800元/米，AC是窄长廊，造价是400元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段BC上靠近点B的三等分点D处建一个观光平台，并建水上直线通道AD（平台大小忽略不计），水上通道的造价是1000元/米．

(1)若规划在三角形ABC区域内开发水上游乐项目，要求△ABC的面积最大，那么AB和AC的长度分别为多少米？

(2)在(1)的条件下，建直线通道AD还需要多少钱？

【例4】如图所示，扇形ABC是一块半径为2千米，圆心角为60的风景区。P点在弧BC上，现欲在风景区中规划三条商业街道：要求街道PQ与AB垂直，街道PR与AC垂直，线段RQ表示第三条街道。

（1）如果P位于弧BC的中点，求三条街道的总长度。

Q C D A B P 200PR、（2）由于环境的原因，三条街道PQ、QR每年能产生的经济效益分别为每千米300万元、万元及400万元。问：这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少？(精确到1万元)。

APRC

QB

2

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2019.4 【课堂小结】

1、建立数学模型解决实际应用问题的一般思路。

2、解三角应用问题抓住三角形的角、边；综合运用基本不等式、函数、三角知识进行运算。

【课堂巩固】

1、如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为和。

（1）设计中CD是铅垂方向，若要求2，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？

（2）施工完成后CD与铅垂方向有偏差，现在实测得38.12，18.45，求CD的长（结果精确到0.01米）？

D

ACB

2、如图，A,B,C三地有直道相通，AB5千米，AC3千米，BC4BC千米。现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f(t)（单位：千米）。甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时。乙到达B地后原地等待．设tt1时乙到达C地．

（1）求t1与f(t1)的值；

（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1t1时，求f(t)的表达式，并判断f(t)在[t1,1]上的最大值是否超过3？说明理由．

A P Q O

3、某地计划在一处海滩建造一个养殖场。

（1）如图，射线OA,OB为海岸线，AOBB 2π，现用长度为1千米的围网PQ依托海岸线围成一3个POQ的养殖场，问如何选取点P,Q，才能使养殖场POQ的面积最大，并求其最大面积. （2）如图，直线l为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场. 方案一：围成三角形OAB（点A,B在直线l上），使三角形OAB面积最大，设其为S1；

3

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2019.4 方案二：围成弓形CDE（点D,E在直线l上，C是优弧DE所在圆的圆心且DCE2π），其面积3为S2；试求出S1的最大值和S2（均精确到0.001平方千米），并指出哪一种设计方案更好.

O

C

A

B

D

E

4