3.1.3 空间向量的数量积运算设计意图

3.1.3

空间向量的数量积运算的教学设计

教学目的学习目标

1.掌握空间向量夹角概念及表示方法. 2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律. 3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直. 教学重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用；

教学难点：两个向量数量积的几何意义

教学过程：

一．自学导引

1.若OAa,则有向线段OA的长度叫做向量a的_________,记作_________. 2.如图，已知两个非零向量a、b，在空间任取一点O，作OAa，OBb，则_________叫做向量a、b的_________，记作_________. 3.向量a、b的夹角〈a，b〉的范围是_________, 当a,b2时，则称__________________，并记作_________. 4.|a||b|cos〈a，b〉叫做__________________,记作_________，

即__________________. 5.空间向量的数量积的性质：

(1)

ae_________________; (2)

ab____________________________________; (3)

|a|2____________________________________. 6.空间向量的数量积满足的运算律：

(1)____________________________________; (2)____________________________________; (3)____________________________________. 二．典例分析

例1

(1)下列命题是否正确？正确的请给出证明，不正确的给予说明.

①p2·q2＝(p·q)2；

②|p＋q|·|p－q|＝|p2－q2|；

③若a与(a·b)·c－(a·c)·b均不为0，则它们垂直

(2)设θ＝〈a，b〉＝120°，|a|＝3，|b|＝4，求：

①a·b；

②(3a－2b)·(a＋2b). 反思与感悟

(1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积的公式计算. (2)如果欲求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算

跟踪训练1

已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于----------- 例2

已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点.试计算：

（1）

.

(2)

跟踪训练2

已知正四面体OABC的棱长为1，求：

例3

已知BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱ABB1A1、▱BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角.

例4

如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长.

反思与感悟

利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择

以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝

a·

a

求解即可.

例5

如图，在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC

跟踪训练3

已知：PO、PA分别是平面α的垂线、斜线，AO是PA在平面α内的射影，l⊂α，且l⊥OA. 求证：l⊥PA. 反思与感悟

(1)证明线线垂直的方法

证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直. (2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法

先用向量a，b，c表示向量m，n，再判断向量m，n的数量积是否为0. 三、规律与方法

1.空间向量运算的两种方法

(1)利用定义：利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算. (2)利用图形：计算两个数量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算. 2.在几何体中求空间向量数量积的步骤

(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积. (3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解.