小结主要内容及教案内容

立体几何中的向量方法-空间角小结复习课教学设计

1.

教学目标 １、

知识与技能：

1）、使学生学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角的向量方法；

2）、能利用空间向

量解决关于角和距离的问题；

２、过程与方法：经历用向量解决某些问题，体会向量是一种处理几何问题的工具；

３、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，体验创造的激情，培养学生发现、提出、解决问题的能力

2.

教学重点/难点 重点：异面直线所成的角、直线与平面所成的角向量方法。

难点：两条异面直线的夹角与两个空间向量的夹角之间的区别；恰当的构建空间直角坐标系，并正确求出点的坐标及向量的坐标。

3.

教学用具 多媒体设备

4.

标签

教学过程 教学过程设计

（一）

复习引入

1.用空间向量解决立体几何问题的三步曲：

1.（化为向量问题）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题.

2.（进行向量运算）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题. 3.（回到图形问题）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义. 2.直线的方向向量与平面的法向量

（1）直线的方向向量：l是空间一直线，A,B是直线l上任意两点，则AB称为直线l的方向向量，与AB平行的任意非零向量也是直线l的方向向量。

（2）平面的法向量：设a,b是平面内两个不共线向量，n为平面有法向na0.量，则求法向量的方程组为

nb0.

2.两个向量的夹角

异面直线所成角

定义：过空间任意一点o分别作异面直线a与b的平行线a´与b´，那么直线a´与b´所成的锐角或直角，叫做异面直线a与b 所成的角. 两条异面直线所成的角的范围是(0，π] （二）新课探究

探究1.两直线所成的角（范围：）

（1）定义：过空间任意一点o分别作异面直线a与b的平行线a´与b´，那么直线a´与b´所成的锐角或直角，叫做异面直线a与b所成的角.

（2）用向量法求异面直线所成角，设两异面直线a、b的方向向量分别为和，

问题1：当与的夹角不大于90°时，异面直线a、b所成的角与夹角的关系？

和的

问题 2：与的夹角大于90°时，异面直线a、b所成的角与角的关系？

和的夹

结论：异面直线a、b所成的角的余弦值为

探究2.直线与平面所成的角（范围：思考：设平面α的法向量为，则）

与的关系？

据图分析可得：结论：

（三）典例剖析

例1.四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°.在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.

(1)建立适当的坐标系，并写出点B、P的坐标；

(2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值．

【思路点拨】

建立坐标系→写出点的坐标→求出与的坐标→计算与的夹角．

【解】(1)建立如图所示的空间直角坐标系．

∵∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.∴A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,4,0)．

由PD⊥平面ABCD，得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角，∴∠PAD＝60°. 在Rt△PAD中，由AD＝2，得PD＝2.∴P(0,0,2)．

例2.

补充练习：在19题的题设下（1）求DA与PC所成角的余弦值。

（2）求直线PB与平面PAC所成角的余弦值。

方法总结：利用法向量求直线与平面所成的角的基本步骤为：

(1)建立空间直角坐标系；(2)求直线的方向向量；

(3)求平面的法向量n；(4)计算：设线面角为θ，则

方法总结

利用空间向量求线线角、线面角的关键是转化为直线的方向向量之间、直线的方向向量与平面的法向量之间的角，通过数量积求出，通常方法分为两种：坐标方法、基向量方法，解题时要灵活掌握．

课后习题 作业：请同学们独立完成配套课后练习题。

板书 立体几何中的向量方法复习课

教学目标

教学重难点

教学过程

(1)

复习引入:方向向量和法向量. (2)

用方向微量和法向量求解线线角和线面角

(3)

具体例子复习

(4)

课后练习