3.1.3 空间向量的数量积运算课堂实录【1】

3.1.3．空间向量的数量积

教学目标：

1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；

2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。

教学重、难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。 教学过程：

（一）复习：

空间向量基本定理及其推论；

（二）新课讲解：

1．空间向量的夹角及其表示：

已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作OAa,OBb，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作a,b；且规定0a,b，显然有a,bb,a；

若a,b2．向量的模：

设OAa，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|；

3．向量的数量积：

已知向量a,b，则|a|||cbos,ab记作ab，即ab|a||b|cosa,b．

已知向量ABa和轴l，e是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A，作点B在l上的射影B，则AB叫做向量AB在轴l上或在e上的正射影；可以证明AB的长度|AB||AB|cosa,e|ae|．

4．空间向量数量积的性质： （1）ae|a|cosa,e．

（2）abab0．

（3）|a|aa．

22，则称a与b互相垂直，记作：ab；

叫做a,b的数量积，e

B

A

B

C

A

1

5．空间向量数量积运算律：

（1）(a)b(ab)a(b)．

（2）abba（交换律）．

（3）a(bc)abac（分配律）．

（三）例题分析：

例1．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。

已知：m,n是平面内的两条相交直线，直线l与平面的交点为B，且lm,ln

求证：l．

证明：在内作不与m,n重合的任一直线g，

l在l,m,n,g上取非零向量l,m,n,g，∵m,n相交，

gm∴向量m,n不平行，由共面定理可知，存在

lnnmg唯一有序实数对(x,y)，使gxmyn，

∴lgxlmyln，又∵lm0,ln0，

∴lg0，∴lg，∴lg，

所以，直线l垂直于平面内的任意一条直线，即得l．

例2．已知空间四边形ABCD中，ABCD，ACBD，求证：ADBC．

证明：（法一）ADBC(ABBD)(ACAB)

ABACBDACAB2ABBD

AB(ACABBD)ABDC0．

（法二）选取一组基底，设ABa,ACb,ADc，

∵ABCD，∴a(cb)0，即acba，

同理：abbc，，

∴acbc，

∴c(ba)0，∴ADBC0，即ADBC．

2

说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明。

例3．如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求OA与BC的夹角的余弦值。

解：∵BCACAB，

∴OABCOAACOAAB

O

|OA||AC|cosOA,AC|OA||AB|cosOA,AB

84cos13586cos12024162

∴cosOA,BCA

B

C

OABC24162322，

855|OA||BC|322．

5所以，OA与BC的夹角的余弦值为说明：由图形知向量的夹角时易出错，如OA,AC135易错写成OA,AC45，切记！

五．课堂练习：课本第99页练习第1、2、3题。

六．课堂小结：空间向量数量积的概念和性质。

七．作业：课本第106页第3、4题

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

教学目标：

1．理解空间向量与有序数组之间的1-1对应关系 2．掌握投影定理、分向量及方向余弦的坐标表示

重点难点：

1．投影定理

2．分向量

3．方向余弦的坐标表示

一、向量在轴上的投影

1．几个概念

(1) 轴上有向线段的值：设有一轴u，AB是轴u上的有向线段，如果数满足AB，且当AB与

3

轴u同向时是正的，当AB与轴u反向时是负的，那么数叫做轴u上有向线段AB的值，记做AB，即AB。设e是与u轴同方向的单位向量，则ABe

(2)

设A、B、C是u轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有ACABBC

(3)

两向量夹角的概念：设有两个非零向量a和b，任取空间一点O，作OAa，OBb，规定不超过的AOB称为向量a和b的夹角，记为(a,b)

'(4)

空间一点A在轴u上的投影：通过点A作轴u的垂直平面，该平面与轴u的交点A叫做点A在轴u上的投影。

(5)

向量AB在轴u上的投影：设已知向量AB的起点A和终点B在轴u上的投影分别为点A和B，''那么轴u上的有向线段的值AB叫做向量AB在轴u上的投影，记做PrjuAB。

''2．投影定理

性质1：向量在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：PrjuABABcos

性质2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，

即Prju(a1a2)Prja1Prja2

性质3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即

Prju(a)Prja

二、向量在坐标系上的分向量与向量的坐标

1．向量在坐标系上的分向量与向量的坐标

通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立

了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的研究，

需要建立向量与有序数之间的对应关系。

设a =M1M2是以M1(x1,y1,z1)为起点、M2(x2,y2,z2)为终点的向量，i、j、k分别表示 沿x，y，z轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图7－5，并应用向量的加法规则知：

4

M1M2(x2x1)i + (y2y1)j+(z2z1)k 或a = ax

i + ayj + azk 上式称为向量a按基本单位向量的分解式。

有序数组ax、ay、az与向量a一一对应，向量a在三条坐标轴上的投影ax、ay、az就叫做向量a的坐标，并记为a

＝ {ax，ay，az}。

上式叫做向量a的坐标表示式。

于是，起点为M1(x1,y1,z1)终点为M2(x2,y2,z2)的向量可以表示为

M1M2{x2x1,y2y1,z2z1}

特别地，点M(x,y,z)对于原点O的向径

OM{x,y,z}

注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。

向量a在坐标轴上的投影是三个数ax、ay、az，

向量a在坐标轴上的分向量是三个向量ax

i 、

ayj 、

azk. 2．向量运算的坐标表示

设a{ax,ay,az}，b{bx,by,bz}即aaxiayjazk，bbxibyjbzk

则

(1)

加法：

ab(axbx)i(ayby)j(azbz)k

减法：

ab(axbx)i(ayby)j(azbz)k

乘数：

a(ax)i(ay)j(az)k

或

ab{axbx,ayby,azbz}

ab{axbx,ayby,azbz}

a{ax,ay,az}

平行：若a≠0时，向量b//a相当于ba，即

{bx,by,bz}{ax,ay,az}

也相当于向量的对应坐标成比例即

5

bxbybz

axayaz三、向量的模与方向余弦的坐标表示式

设a{ax,ay,az}，可以用它与三个坐标轴的夹角、、（均大于等于0，小于等于）来表示它的方向，称、、为非零向量a的方向角，见图7－6，其余弦表示形式cos、cos、cos称为方向余弦。

1．

模

22aaxayaz2

2．

方向余弦

aMMcosacos12x由性质1知ayM1M2cosacos，

aM1M2cosacosz当a222axayaz0时，有

aaxcosx22aaxayaz2ayay

cos222aaxayazaazcosz222aaaaxyz任意向量的方向余弦有性质：cos2cos2cos21

与非零向量a同方向的单位向量为：

a0aa1a{ax,ay,az}{cos,cos,cos}

3．

例1：已知两点M1(2,2,2)、M2(1,3,0)，计算向量M1M2的模、方向余弦、方向角以及与M1M2同向的单位向量。

6

解：M1M2＝{1-2，3-2，0-2}={-1，1，-2}

M1M2(1)212(2)22

cos1122，cos2，cos2

23，33，4

设a0为与M01M2同向的单位向量，由于a{cos,cos,cos}

即得a0{12,122,2}

7