习题3.2课时教学实录

§3.2.3立体几何中的向量方法——利用空间向量求空间角 李玉金

教学目标

1、使学生学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量方法；

2、使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；

3、使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点

求解二面角的向量方法

教学难点 二面角的大小与两平面法向量夹角的大小的关系

教学过程

一、复习引入

1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”

（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）

（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）

（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形）

2、向量的有关知识：

（1）两向量数量积的定义： ababcosa,bab（2）两向量夹角公式：

cosa,bab（3）平面的法向量：与平面垂直的向量

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二、知识讲解与典例分析

0,知识点1、异面直线所成的角（范围： ）

2（1）定义：过空间任意一点o分别作异面直线a与b的平行线a´与b´，那么直线a´与b´

所成的不大于90°的角 ，叫做异面直线a与b

所成的角。

（2）用向量法求异面直线所成角

设两异面直线a、b的方向向量分别为m和 n

， 所以，异面直线a、b所成的角的余弦值为

cos





cos

m,

n



mnmnx1x2y1y2z1z2222x12y12z12x2y2z2

类型1:求异面直线所成的角例1:RtABC中，BCA900,现将ABC沿着平面ABC的法向量平移到ABC111位置，已知BCCACC1，取A1B1、AC，11的中点D1、F1求BD1与AF1所成的角的余弦值.zC1D1F1B1A1yB

CxA第

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练习2:如图所示,三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1平面OAB,O1OB60,AOB90,且OBOO12,OA3,求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小zA1O1B1OxABy

2.直线与平面所成的角(1)定义:直线与它在这个平面内的射影所成的角.(2)范围:[0,(3)向量求法:设直线l 的方向向量为a,平面的法向量为u,直线与平面所成的角为, a与u的夹角为,则有2]sin|cos||au||a||u|

题型三:二面角(1)范围:[0,](2)二面角的向量求法:l①若AB、CD分别是二面角的两个面内与棱l 垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量AB与CD的夹角(如图(1))②设n1,n2是二面角l的法向量,则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角大小(如图(2))CBDAln2n1(1)的两个面,l(2)第

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类型3:求平面和平面所成的角例4.如图所示，ABCD是一直角梯形，ABC=900,1SA平面ABCD,SAABBC1,AD,求面SCD2与面SBA所成的锐二面角的余弦值.例5:如图,四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为矩形,SD底面ABCD,AD=2,DCSD2.点M在侧棱SC上,ABM=60.(1)证明:M是侧棱SC的中点;(2)求二面角SAMB的余弦值zSBCAD1的棱长为1.求二面角A-BD1-C的大小.解1D1A1C1B1DACB

练习2：如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝23. (1)求点A到平面MBC的距离；

(2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．

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S6M3DCyAxB

练习3(书P113)、在如图的实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直。活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，a(0a2).且CM和BN的长度保持相等，记CM=BN= （1）求MN的长；（2）a为何值时？MN的长最小？（3）当MN的长最小时，求面MNA与面MNB所成二面角的余弦值。小结：1.异面直线所成角：cos|cosCD,AB|2.直线与平面所成角：sin|cosn,AB|3.二面角：cos|cosn1,n2|cos|cosn1,n2|关键：观察二面角的范围作业:习题3.2第6,8题

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CDMBENAFCDD1ABAnBOn2n1

三、巩固练习

如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=90°，SO⊥平面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2.求 ⑴异面直线SA和OB所成的角的余弦值；

1056366S O A B C ⑵直线OS与平面SAB所成角α的正弦值；

⑶二面角B－AS－O的余弦值. 四、课堂小结

1、异面直线所成的角 coscosm,n

2、直线和平面所成的角

sincosAB,ncos 3、二面角 12或

cosn,ncosn1,n2五、布置作业 课本第112页A组第6题

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